66、牛顿势扫掠的一般理论

牛顿势扫掠的一般理论

在牛顿势理论中，研究质量正分布的收敛模式以及分布的扫掠问题是非常重要的。下面将详细介绍不同的收敛模式、扫掠的原理和性质等内容。

1. 不同的收敛模式

在研究质量正分布时，我们需要明确分布变量何时收敛到一个固定的分布，即极限分布。这里存在几种不同且不等价的收敛定义，每种定义都在正测度集合上定义了一种拓扑。考虑这些拓扑的实用性在于，在势理论问题中，常常需要证明具有某些性质的分布的存在性（通常还有唯一性），而这可以通过将所求分布构造为已知分布的“极限”来实现。

1.1 模糊收敛

对于任意正分布，若对于每个 (f \in C^+)，积分 (\int f d\mu_0) 是 (\int f d\mu) 的极限，则称 (\mu_0) 是变量 (\mu) 的模糊极限。这是经典的收敛模式，也是势理论中各作者通常使用的唯一模式。不过，在证明存在性定理时使用它需要一个“选择原则”（DE LA VALLÉE Pouss1N）。

如果将空间 (R^n)（(n \geq 2)）中的一个点与该点处质量为 (+1) 的分布等同起来，那么 (R^n) 就等同于正分布集合的一部分。模糊收敛在 (R^n) 上诱导出的收敛模式，实际上就是 (R^n) 通常拓扑意义下的收敛。

若 (F) 是 (R^n) 的一个闭子集，那么任何是由 (F) 承载的分布的模糊极限的分布 (\mu_0) 本身也由 (F) 承载。也就是说，由 (F) 承载的分布集合构成了所有分布集合的一个（对于模糊拓扑）闭子集，我们称之为“模糊闭集”。

要使 (\mu) 模糊收敛到 (\mu_0)，只需对于每个“球分布” (\lambda)（见文献 [7