65、牛顿位势扫除的一般理论

牛顿位势扫除的一般理论

引言

本文将探讨任意集合（即不一定是闭集或开集）的“扫除”一般理论。这里所说的扫除操作，本质上与Brelot先生所称的“极值化”相同，同时A. F. Monna也对这一操作进行过研究。

扫除操作最初由H. Poincaré为解决狄利克雷问题而引入。不过，Poincaré采用无限步骤的方式进行，并未探究扫除质量在极限情况下的情况。DE LA VALLÉE Pouss1N似乎是第一个认识到，在对边界做出限制假设时，极限质量分布能给出狄利克雷问题（连续数据）的解。实际上，这些假设是多余的，Frostman和DE LA VALLÉE Pouss1N本人通过其闭集扫除的一般理论已证明了这一点。对于开集的狄利克雷问题，可通过在该集的补集上扫除一个点质量来求解。

本文研究的扫除适用于任意集合，所阐述的理论涵盖了多个先前不同方面的理论。这些理论逐渐形成，各自有其概念和术语，如正则点或非正则点、稳定点或不稳定点等概念。由于不同作者在这些问题上的术语存在差异，本文无法采用与之前所有用法都一致的术语，所选术语具有连贯性，大致与DE LA VALLÉE Pouss1N的术语一致，不过他未在本文所采用的广义上使用“扫除”一词。

本文所考虑的问题与Brelot先生近期论文中处理的问题本质相同，但观点不同。Brelot直接对势（更一般地，对超调和函数> 0，或者从次调和函数< 0的相反观点）进行操作，并将其理论基于一个极值性质。尽管初始观点不同，但Brelot的论文和本文必然存在许多相互影响之处。

本文的创新性在于从质量分布的角度系统地处理问题。首先，对于有限能量分布的情况，采用源于高斯的最小方法，不过与其他作者不同，使用现代希尔伯特