63、齐性空间中的位势一般理论

齐性空间中的位势一般理论

在数学研究中，位势理论一直是一个重要的领域。本文将深入探讨齐性空间中的位势一般理论，从齐性空间的定义入手，逐步介绍测度、测度的合成以及位势理论的相关内容。

1. 齐性空间

设 (G) 是一个局部紧的拓扑群，(\Gamma) 是 (G) 的一个闭子群。定义 (G) 中元素 (x,y) 之间的一种等价关系，元素 (x) 的等价类是形如 (xs)（(s\in\Gamma)）的元素集合，记为 (\overline{x})。所有等价类的集合 (\overline{G}) 称为由 (G) 和 (\Gamma) 定义的齐性空间。将 (x) 映射到 (\overline{x}) 的映射是从 (G) 到 (\overline{G}) 的一个映射，对应于 (G) 中单位元 (e) 的等价类 (\overline{e}) 称为原点。

对于任意 (s\in G) 和 (\overline{x}\in\overline{G})，定义 (s\overline{x}) 为元素 (sx) 所在的等价类。这些变换构成一个与 (G) 同构的群，在这个同构中，(\Gamma) 同构于使原点 (\overline{e}) 保持不变的子群。

给 (\overline{G}) 赋予由 (G) 的拓扑通过等价关系得到的商拓扑，(\overline{G}) 就成为一个局部紧空间。(s\overline{x}) 连续依赖于 (s\in G) 和 (\overline{x}\in\overline{G})，从 (G) 到 (\overline{G}) 的连续映射将 (G) 中的开集映为 (\overline{G}) 中的开集，将 (G) 中的紧集映为 (\overline{G}) 中的