62、位势理论基础研究

位势理论基础研究

1. 引言

现代位势和狄利克雷问题的研究表明，位势理论的大部分发展源于一些非常简单的初始性质。例如，质量分布的能量积分本质上是正的，并且只有当质量为零时才为零。“扫除”操作则是根据高斯原理，并由弗罗斯特曼和德拉瓦莱·普桑重新提出，归结为寻找一个与能量积分直接相关的积分的最小值。

2. 拉东测度与质量分布

• 局部紧致拓扑空间 ：考虑一个局部紧致的拓扑空间 (E)，即空间中的每个点都有一个紧致邻域。欧几里得空间就属于这一范畴，其紧致子集是有界且闭的子集。
• 正拉东测度 ：正拉东测度或正质量分布是定义在 (e^+) 上的一个泛函 (\mu(f))，(e^+) 是在 (E) 上处处定义、连续、取值非负且在某个紧致集外为零的函数集合。对于任意常数 (c \geq 0)，有 (\mu(cf) = c\mu(f))，结合可加性可知 (\mu) 是线性泛函。该泛函可唯一地扩展为 (e) 上的线性泛函，(e) 是 (e^+) 中函数差的集合。
• 勒贝格 - 斯蒂尔杰斯积分 ：通过正拉东测度可以定义勒贝格 - 斯蒂尔杰斯积分。设 (\beta) 是在 (E) 上处处下半连续且非负的函数集合，(\varsigma) 是在某个紧致集外为零且处处上半连续且非负的函数集合。对于 (f \in \beta)，(\mu(f) = \sup \mu(g))，其中 (g \in e^+) 且 (g \leq f)；对于 (f \in \varsigma)，(\mu(f) = \inf \mu(g))，其中 (g \in e^+