61、函数复合类与哈尔测度相关研究

函数复合类与哈尔测度相关研究

函数复合类相关理论

1. 定理 III 内容
   - 设 (|B_n|) 是一个正则类，(|A_n|) 是包含 (|B_n|) 的任意类。若 (f) 是 (|A_n|) 类的函数，(g) 是 (|B_n|) 类的函数，则复合函数 (f(g)) 在其有意义的任意区间上属于 (|A_n|) 类。
   - 具体来说，设 (I) 是一个有限闭区间，在该区间上函数 (g(x)) 属于 (|B_n|) 类，且其取值属于有限闭区间 (I’)，使得函数 (f) 在 (I’) 上属于 (|A_n|) 类。我们要限制函数 (F(x)=f(g(x))) 在 (I) 上的逐次导数 (F^{(n)}(x))。
2. 假设条件
   - 对于 (n\geq1)，假设：
   • (|f^{(n)}(y)|\leq A_n)（当 (y\in I’) 时）；
   • (|g^{(n)}(x)|\lt B_n)（当 (x\in I) 时）。
   • 若不满足上述条件，可将 (A_n) 乘以 (p^n)，(B_n) 乘以 (p’^n)（(p) 和 (p’) 合适取值）使不等式成立。
   • 由于 (|A_n|) 类包含 (|B_n|) 类，可进一步假设对于 (n > 1)，((A_n)_n\geq B_n>0)，必要时可将 (A_n) 乘以 (k^n)（(k > 1)）使 (A_n\geq B_n)。
   • 设 (\lambda) 是区间 (I’) 的长度，假设对于 (n\geq1)，(\