54、魏尔斯特拉斯预备定理：数学领域的基石

魏尔斯特拉斯预备定理：数学领域的基石

1. 魏尔斯特拉斯预备定理的起源与表述

魏尔斯特拉斯预备定理（Vorbereitungssatz）首次出现在魏尔斯特拉斯1886年出版的《函数论文集》中。在该文集里，前四篇文章是1876、1880和1881年发表在不同期刊上的论文的重印，而预备定理位于第五篇文章开头。魏尔斯特拉斯在序言中提到，这篇文章包含一系列关于多变量单值函数的定理，他在1879年为听众进行了石印，但未公开发行。并且他自1860年起就多次在大学讲座中提及该定理。

定理表述如下：设 (F(x, x_1, \cdots, x_n)) 是在原点邻域内的全纯函数，假设 (F(0, 0, \cdots, 0) = 0)，(F_0(x) = F(x, 0, \cdots, 0) \not\equiv 0)，设 (p) 是使得 (F_0(x) = x^pG(x))（(G(0) \neq 0)）成立的整数。那么存在一个“特殊多项式” (f(x; x_1, \cdots, x_n) = x^p + a_1x^{p - 1} + \cdots + a_p)（其中系数 (a_i(x_1, \cdots, x_n)) 在原点邻域内是全纯函数且在原点处取值为0），以及一个在原点邻域内全纯且不为0的函数 (g(x, x_1, \cdots, x_n))，使得在原点邻域内有 (F = f \cdot g)。

魏尔斯特拉斯在证明该定理时，考虑了对数导数 (\frac{1}{F} \cdot \frac{\partial F}{\partial x})，并利用了复变函数的性质，虽未明确使用柯西积分，但运用了其相关结论。西马尔给出了该证明的一个变体，收录在埃米尔·皮卡的《分析教程》中。该证明先固定一个足够小的