53、解析空间相关理论与应用

解析空间相关理论与应用

1. 解析空间的深度与维度

在解析空间的研究中，深度（profondeur）是一个重要概念。J.-P. Serre证明了(P_x)的深度等于所有最大(P_x)-序列的长度。这里，一个(P_x)-序列是理想(m_x \subset O_x)中元素的序列((u_1, \cdots, u_p)) ，满足特定条件。条件((P_n))表明，环(K{x_1, \cdots, x_n})作为自身上的模，其深度为(n)。

当考虑解析空间(X)上一点(x)处的环(O_x)时，如果(x)是正则点，即(X)在(x)的邻域内是解析簇，那么(\text{prof}(O_x) = \dim_x X) 。若(x)是奇点，由于存在任意接近(x)且(\dim_y (X) = \dim_x X)的正则点(y)，且({y : \text{prof}(O_y) \geq \text{prof}(O_x)})是开集，所以有(\text{prof}(O_x) \leq \dim_x X) 。

整数(\text{prof}(O_x))在某种程度上修正了奇点处的维度概念，(\dim_x X - \text{prof}(O_x) \geq 0)给出了点(x)奇异性的一种度量。例如，当(X)在(x)的邻域内可实现为簇(Y)中的完全交时，(O_x)的深度等于(\dim_x X) 。

2. Grothendieck局部上同调

首先是纯拓扑方面的考虑。设(A)是拓扑空间(X)的闭子集，我们要定义(X)上以阿贝尔群层(P)为系数、以(A)为支撑的上同调群，这是在闭集族(\varPhi)上支撑的上同调的特殊情况。

连续截面(s \in \varGamma