24、全纯函数线性组合零点相关研究

全纯函数线性组合零点相关研究

在复变函数理论中，对函数的零点分布以及函数增长性的研究一直是重要课题。本文将深入探讨全纯函数线性组合的零点性质，以及与之相关的不等式及其应用。

1. 奈望林纳基本不等式回顾

奈望林纳（R. Nevanlinna）提出的一个基本不等式在复变函数理论中具有重要地位。对于在 ( |x| < R )（( R ) 可以为无穷）上的亚纯函数 ( f(x) )，以及 ( q ) 个不同的复数 ( a_1, a_2, \cdots, a_q )，当 ( r < R ) 时，有不等式：
[
(q - 2)T(r, f) < \sum_{i = 1}^{q} N_1(r, a_i) + S(r)
]
其中，( T(r, f) ) 是奈望林纳增长函数，定义为：
[
T(r, f) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \log |f(re^{i\theta})| d\theta - \log |f(0)| + N(r, f)
]
( N_1(r, a_i) ) 是 ( N_1(r, f - a_i) ) 的缩写，( S(r) ) 是一个函数，在 ( R ) 为无穷时，满足 ( S(r) < O[\log T(r, f)] + O(\log r) )（需排除一些长度总和有限的区间）；当 ( R ) 为有限值时，满足 ( S(r) < O[\log T(r, f)] + O(\log \frac{R}{R - r}) )。

这个不等式限制了函数 ( f(x) ) 的增长性，只要知道 ( q (q > 2) ) 个方程 ( f(x) -