4、函数理论中的重要定理与研究进展

函数理论中的重要定理与研究进展

1. 安德烈·布洛赫定理相关研究

安德烈·布洛赫曾提出一个定理，该定理在函数理论中似乎会起到一定作用，但一直未得到证明。定理内容为：设(\varphi(X) = (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots(X - \alpha_n))是一个(n)次多项式，其所有零点都在单位圆内。对于任意正数(r < 1)和任意正数(\gamma)，无论(\gamma)多么小，都可以找到一个仅依赖于(r)和(\gamma)（与(\alpha_i)和(n)无关）的数(H)，使得不等式(|\varphi(x)| > e^{-Hn})对于所有模小于(r)的(x)值都成立，可能除了那些包含在总长度至多等于(\gamma)的轮廓内的值。

后来找到了一个初等证明，该证明给出了(H)的具体值，并表明不必假设(\alpha_i)的模小于(1)，也不必假设(x)的模小于(r)。定理的精确形式为：设平面上有(n)个点(P_1, P_2, \cdots, P_n)，这些点可以相同，其数量(n)和位置完全任意；另外，设(k)是任意正数。平面上满足不等式的点(M)可以被包含在至多(n)个圆周内，且这些圆的半径之和至多等于(2ek)（(e)为自然对数的底数）。此定理可立即推广到任意维度，此时圆周被超球面所取代，超球面的半径之和至多等于(2ek)。

2. 唯一性定理的补充

之前提到不可能找到三个不同的复变函数(f(x), g(x), h(x))，它们在整个平面上是亚纯的，并且共同取到值(a)、(b)和(c)（具有相同的重数）。该定理的证明基于博雷尔定理：当有恒等式(\sum_{i = 1}^{m}F_i(x)=0)，其中(F_i)表示