22、图像插值与恢复技术解析

图像插值与恢复技术解析

1. 几何变换中的插值方法

在信号和图像处理中，插值问题涉及从离散样本重建连续信号在缺失点的值。在自然场景的图像形成过程中，光学系统（建模为空间线性低通滤波过程）与数字化系统共同作用，将模拟连续图像转换为离散图像。然而，光学系统会引入模糊效应，不适当的采样可能导致混叠现象。图像采集系统会尽量平衡这两种现象。

1.1 三次B样条插值

三次B样条B3由零阶B样条函数的迭代卷积定义：
[B_3(x) = B_0(x) * B_0(x) * B_0(x) * B_0(x) = B_0(x) * B_2(x)]
其显式函数为：
[B_3(x) =
\begin{cases}
\frac{2}{3} - x^2 + \frac{1}{2}|x|^3, & \text{if } |x| \leq 1 \
-\frac{1}{6}|x|^3 + |x|^2 - 2|x| + \frac{4}{3}, & \text{if } 1 \leq |x| < 2 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
与三次核函数不同，三次B样条函数没有纯插值器约束，它能更好地模拟曲线且保持正值，这在图像处理应用中，特别是结果显示方面具有优势。其在空间和频率域的函数特性与最近邻和线性插值相比，更接近带通和带阻滤波器的特性，在空间域区间([-2, 2])上几乎为正。对于大小为(N×N)像素的图像，三次B样条插值的计算复杂度为(O(N^4))。

1.2 最小二乘逼近插值

更一般地，可以用高