17、几何变换：原理、应用与实现

几何变换：原理、应用与实现

1. 引言

在不同的应用场景中，几何变换是必不可少的。它既可以用于纠正图像采集过程中引入的几何畸变（例如，在物体或传感器处于运动状态下采集的图像，如卫星和/或航空图像采集），也可以用于引入所需的视觉几何效果。在这两种情况下，几何算子必须能够尽可能忠实地再现具有相同辐射信息的图像。

几何变换会修改图像中像素的位置，这是通过选择适当的数学关系来实现的，该关系将输入图像 ( f(x, y) ) 像素的空间坐标 ( (x, y) ) 与输出图像 ( g ) 的新坐标 ( (x’, y’) ) 联系起来。在数字图像的背景下，几何变换由两个算子组成：
- 几何算子 ：逐像素定义输入图像 ( f ) 的坐标 ( (x, y) ) 与输出图像 ( g ) 的坐标 ( (x’, y’) ) 之间的空间变换。
- 插值算子 ：通过对输入图像 ( f ) 中同源像素附近的像素值进行插值，为输出图像 ( g ) 的每个像素分配适当的灰度级。

2. 齐次坐标

2.1 2D和3D形状的几何分析符号

通常，我们用向量 ( x = (x, y)^t \in \Re^2 )（在欧几里得坐标中）来表示二维点，以指示图像中像素的位置。这些点也可以用三个齐次坐标 ( \tilde{x} = (\tilde{x}, \tilde{y}, w)^t \in P^2 ) 表示，其中 ( P^2 ) 称为投影平面。一般来说，N 维欧几里得空间中的一个点可以表示为 (N + 1) 维投影空间中的一个点。

将投影平面中的点转换为欧几里得坐标，