分治策略&插入排序

分治策略：将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归的解决这些子问题，然后再合并这些结果，得到原问题的解。

分治模式在每一层递归上都有三个步骤：
分解：将原问题分解为一系列子问题
解决：递归的解决个子问题，若子问题足够小，则直接求解
合并：将子问题的结果合并成原问题的解

合并排序：
分解：将n个元素分成等两份
解决：用合并排序法对两个子序列递归的排序

合并两个已排序的子序列以得到排序结果

对子序列排序时，长度为1时递归结束。
算法分析：对一个算法所需要的资源进行预测。（内存、通讯带宽或计算机硬件等资源偶尔会是我们主要关心的）通常资源是指我们希望测度的计算时间。
实现算法之前确定实现技术的模型：通用的单处理器、随机存取机（RAM），该模型中的指令是一条一条执行的，没有并发操作。

RAM模型包含了计算机中的常见指令：
算数指令：加法、减法、乘法、除法、取余、向下取整、向上取整指令
数据移动指令：装入、存储、复制指令
控制指令：条件和非条件转移、子程序调用和返回指令

输入规模：与具体问题有关，有时指的是输入中的元素个数，如果是图，度量标准是边和节点数。

运行时间：在特定输入时，所执行的基本操作数或（步数）。

插入排序的算法分析：

INSERTION-SORT（A）								   cost		times
1	for j <— 2 to length[A]                         c1             n  
2		do    key <— A[j] 						    c2		      n-1
3//insert A[j] into the sorted sequence A[1...j-1]  0              n-1
4			i <— j-1								c4             n-1
5			while i > 0 and A[i] > key	//降序排列	c5          t(j) j从2到n求和
6				do A[i+1] <— A[i]					c6         {t(j)-1} j从2到n求和
7					i <— i-1						c7		   {t(j)-1} j从2到n求和
8			A[i+1] <— key							c8 		   n-1

如果给定的数据已经排好序，出现最佳的情况，最终结果是一个n的线性函数。O(n)
如果给定的是一个逆序的序列，出现最坏的时间效率，结果是n的二次函数。O(n^2)
一般考察算法的最坏情况运行时间（大致情况看，一般最坏时间效率和平均情况效率是相同输入规模的函数，运行时间是一样的。）

增长的量级：
运行时间的增长率，只考虑公式的最次高项，并忽略最高次项的常数系数。（如输入规模足够大的时候，O(n^{2)效率比O(n}3)好。）
这是一个对少量元素进行排序的有效算法。
伪代码：

INSERTION-SORT（A）
1	for j <— 2 to length[A]
2		do    key <— A[j] 
3		//insert A[j] into the sorted sequence A[1...j-1]
4			i <— j-1
5			while i > 0 and A[i] > key				//降序排列
6				do A[i+1] <— A[i]
7					i <— i-1
8			A[i+1] <— key

对于上面算法，数据保存在数组中，输入的各个数字是原地排序的，不需要额外的存储空间，仅仅只有几个变量存储在数组之外。
当算法执行到后面的时候，发现后面的数少于前面的j-1个数据中的m个数据的时候，需要将前面m个数据依次往后移动，空出j-1-m的位置给该数。

循环不变式与插入算法的正确性
循环不变式正确性
初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的。
保持：如果在循环的某一次迭代之前它是正确的，那么下一次迭代开始之前，它应该保持正确。
终止：当循环结束时，不变式给了我们一个有用地方性质，它有助于表明算法是正确的。

伪代码中的部分约定
指针不指向任何对象，将其赋值为NIL
参数采用按值传递方式：被调用的过程会收到参数的一个副本。如果他对某个参数赋值的话，主调过程是看不见这一变动的。当对象被传递时，实际传 递的是一个指向该对象数据的指针，而对象的各个域则不被拷贝。
布尔运算符，and和or都具有短路能力。