注：该算法已按照智能优化算法APP标准格式进行整改，可直接集成到APP中，方便大家与自己的算法进行对比。
向量加权平均(weIghted meaN of vectOrs, INFO)是一种新型的优化器，它将权均值思想应用于实体结构，通过更新规则、向量组合和局部搜索三个核心步骤更新向量的位置。更新规则阶段是基于均值定律和收敛加速来生成新向量。向量组合阶段将得到的向量与更新规则进行组合，以获得有希望的解。改进了算法中的更新规则和矢量组合步骤，提高了勘探开发能力。此外，局部搜索阶段有助于该算法避免低精度解，提高挖掘和收敛性。
该成果于2023年发表在计算机领域2区SCI期刊“Engineering Applications Of Artificial Intelligence”上，目前被引20次。
1.算法原理
（1）加权平均数的数学定义
一组向量的平均值被描述为它们的位置（Xi）的平均值，由向量的适应度（wi）加权。事实上，使用这个概念是因为它的简单性和易于实现。下图描述了一组解（向量）的加权平均值，其中具有较大权重的解在计算解的加权平均值时更有效。
加权平均值（WM）的公式由等式定义：
其中N是向量的数目。
为了提供更好的解释，WM可以被认为是两个矢量，如等式所示：
在这项研究中，每个向量的权重是基于小波函数（WF）计算的。通常，小波是用于通过复合振荡函数的平移和膨胀（即母小波）具有有限周期。该函数用于在优化过程中创建有效的波动。下图显示了本研究中使用的母小波，其定义为：
其中，w是一个常数，称为膨胀参数。
下图显示了三个矢量，它们之间的差异如图所示。
向量的加权平均值由公式计算：
其中， ， ， ，
其中f（x）表示向量x的适应度函数。
式中rand(0,1)为[0,1]范围内的随机数，Xi0为表示在初始阶段中的第i位置。
（2）向量加权均值（INFO）算法
向量加权平均值算法（INFO）是一种基于种群的优化算法，它计算搜索空间中一组向量的加权平均值。在所提出的算法中，人口是由一组向量，证明可能的解决方案。INFO算法在几个连续的代中找到最优解。
三个运算符在每一代中更新向量的位置：阶段1：更新规则；阶段2：向量组合；阶段3：局部搜索
这里，最小化目标函数的问题被认为是一个例子。
（3）初始化阶段
INFO算法由D维搜索域中的Np个向量的群体 。在这一步中，为INFO算法引入和定义一些控制参数。有两个主要参数：加权平均因子和比例因子。
一般来说，缩放率用于通过更新规则算子放大所获得的向量，这取决于搜索域的大小。该因子用于缩放向量的加权平均值。它的值是基于问题的可行搜索空间指定的，并根据指数公式减少。这两个参数不需要由用户调整并且基于生成而动态地改变。INFO算法使用一种称为随机生成的简单方法来生成初始向量。
（4）更新规则阶段
在INFO算法中，规则更新算子在搜索过程中增加了种群的多样性。该运算符使用向量的加权平均值来创建新的向量。实际上，该运算符将INFO算法与其他算法区分开来，并且由两个主要部分组成。在第一部分中，基于均值的规则是从一组随机向量的加权均值中提取的。基于均值的方法从随机初始解开始，并使用一组随机选择的向量的加权均值信息移动到下一个解。第二部分是收敛加速，提高了算法的收敛速度，使算法的性能更接近最优解。
一般来说，INFO首先使用一组随机选择的差分向量来获得向量的加权平均值，而不是将当前向量移向更好的解决方案。在这项工作中，增加人口的多样性被认为是基于最好，更好和最坏的解决方案的平均规则。应该注意的是，更好的解决方案是从前5个解决方案中随机确定的（关于目标函数值）。因此，基于平均值的规则被引导到MeanRule，如下式定义:
其中，
其中，
其中f(x)是目标函数的值; 是从范围[1，NP]中随机选择的不同整数; 是一个常数，具有很小的值; randn是正态分布的随机值; xbs，xbt和xws分别是第g代种群中所有向量的最佳、较好和最差解。实际上，这些解是在每次迭代时对解进行排序后确定的。r是范围[0，0.5]内的随机数; w1、w2和w3是用于计算向量的加权平均值的三个WF，这有助于所提出的INFO算法在解空间中全局搜索。
其中，Maxg是最大生成次数。
在规则更新算子中加入收敛加速部分，利用最优向量在搜索空间中移动当前向量，提高全局搜索能力。在INFO算法中，假定最优解是最接近全局最优解的解。事实上，CA帮助向量向更好的方向移动。将下式乘以范围rand[0，1]内的随机数，以确保每个向量在INFO中的每一代中具有不同的步长：
其中randn是具有正态分布的随机数。
最后，使用下式计算新向量：
优化算法通常应该全局搜索以发现搜索域的有希望的空间（探索阶段）。因此，使用以下方案来定义基于xbs，xbt，xgl和xgal的所提出的更新规则：
其中，z1gl和z2gl是第g代中的新矢量;并且， 是矢量的缩放率，如下式所定义的：
其中c和d是分别等于2和4的常数。值得注意的是，对于参数k的大值，当前位置倾向于偏离向量的加权平均值（探索搜索），而该参数的小值迫使当前位置向向量的加权平均值移动（利用搜索）。
（5）矢量合并级
在这项研究中，为了增强INFO中的种群多样性，将前一节中计算的两个矢量（z1gl和z2gl）与矢量xgl结合，根据下式，关于条件xgl <0.5，以生成新的矢量ugl：
其中，ugi是使用第g代中的向量组合获得的向量;并且u等于0.05×randn。
所提出的INFO算法伪代码如图所示:
INFO的流程图如下所示：
2.结果展示
3.MATLAB核心代码
function [Best_Cost,Best_X,Convergence_curve]=INFO(nP,MaxIt,lb,ub,dim,fobj)
%% Initialization
Cost=zeros(nP,1);
M=zeros(nP,1);
X=initialization(nP,dim,ub,lb);
for i=1:nP
Cost(i) = fobj(X(i,:));
M(i)=Cost(i);
end
[~, ind]=sort(Cost);
Best_X = X(ind(1),:);
Best_Cost = Cost(ind(1));
Worst_Cost = Cost(ind(end));
Worst_X = X(ind(end),:);
I=randi([2 5]);
Better_X=X(ind(I),:);
Better_Cost=Cost(ind(I));
%% Main Loop of INFO
for it=1:MaxIt
alpha=2*exp(-4*(it/MaxIt)); % Eqs. (5.1) & % Eq. (9.1)
M_Best=Best_Cost;
M_Better=Better_Cost;
M_Worst=Worst_Cost;
for i=1:nP
% Updating rule stage
del=2*rand*alpha-alpha; % Eq. (5)
sigm=2*rand*alpha-alpha; % Eq. (9)
% Select three random solution
A1=randperm(nP);
A1(A1==i)=[];
a=A1(1);b=A1(2);c=A1(3);
e=1e-25;
epsi=e*rand;
omg = max([M(a) M(b) M(c)]);
MM = [(M(a)-M(b)) (M(a)-M(c)) (M(b)-M(c))];
W(1) = cos(MM(1)+pi)*exp(-(MM(1))/omg); % Eq. (4.2)
W(2) = cos(MM(2)+pi)*exp(-(MM(2))/omg); % Eq. (4.3)
W(3)= cos(MM(3)+pi)*exp(-(MM(3))/omg); % Eq. (4.4)
Wt = sum(W);
WM1 = del.*(W(1).*(X(a,:)-X(b,:))+W(2).*(X(a,:)-X(c,:))+ ... % Eq. (4.1)
W(3).*(X(b,:)-X(c,:)))/(Wt+1)+epsi;
omg = max([M_Best M_Better M_Worst]);
MM = [(M_Best-M_Better) (M_Best-M_Better) (M_Better-M_Worst)];
W(1) = cos(MM(1)+pi)*exp(-MM(1)/omg); % Eq. (4.7)
W(2) = cos(MM(2)+pi)*exp(-MM(2)/omg); % Eq. (4.8)
W(3) = cos(MM(3)+pi)*exp(-MM(3)/omg); % Eq. (4.9)
Wt = sum(W);
WM2 = del.*(W(1).*(Best_X-Better_X)+W(2).*(Best_X-Worst_X)+ ... % Eq. (4.6)
W(3).*(Better_X-Worst_X))/(Wt+1)+epsi;
% Determine MeanRule
r = unifrnd(0.1,0.5);
MeanRule = r.*WM1+(1-r).*WM2; % Eq. (4)
if rand<0.5
z1 = X(i,:)+sigm.*(rand.*MeanRule)+randn.*(Best_X-X(a,:))/(M_Best-M(a)+1);
z2 = Best_X+sigm.*(rand.*MeanRule)+randn.*(X(a,:)-X(b,:))/(M(a)-M(b)+1);
else % Eq. (8)
z1 = X(a,:)+sigm.*(rand.*MeanRule)+randn.*(X(b,:)-X(c,:))/(M(b)-M(c)+1);
z2 = Better_X+sigm.*(rand.*MeanRule)+randn.*(X(a,:)-X(b,:))/(M(a)-M(b)+1);
end
% Vector combining stage
u=zeros(1,dim);
for j=1:dim
mu = 0.05*randn;
if rand <0.5
if rand<0.5
u(j) = z1(j) + mu*abs(z1(j)-z2(j)); % Eq. (10.1)
else
u(j) = z2(j) + mu*abs(z1(j)-z2(j)); % Eq. (10.2)
end
else
u(j) = X(i,j); % Eq. (10.3)
end
end
% Local search stage
if rand<0.5
L=rand<0.5;v1=(1-L)*2*(rand)+L;v2=rand.*L+(1-L); % Eqs. (11.5) & % Eq. (11.6)
Xavg=(X(a,:)+X(b,:)+X(c,:))/3; % Eq. (11.4)
phi=rand;
Xrnd = phi.*(Xavg)+(1-phi)*(phi.*Better_X+(1-phi).*Best_X); % Eq. (11.3)
Randn = L.*randn(1,dim)+(1-L).*randn;
if rand<0.5
u = Best_X + Randn.*(MeanRule+randn.*(Best_X-X(a,:))); % Eq. (11.1)
else
u = Xrnd + Randn.*(MeanRule+randn.*(v1*Best_X-v2*Xrnd)); % Eq. (11.2)
end
end
% Check if new solution go outside the search space and bring them back
New_X= BC(u,lb,ub);
New_Cost = fobj(New_X);
if New_Cost<Cost(i)
X(i,:)=New_X;
Cost(i)=New_Cost;
M(i)=Cost(i);
if Cost(i)<Best_Cost
Best_X=X(i,:);
Best_Cost = Cost(i);
end
end
end
% Determine the worst solution
[~, ind]=sort(Cost);
Worst_X=X(ind(end),:);
Worst_Cost=Cost(ind(end));
% Determine the better solution
I=randi([2 5]);
Better_X=X(ind(I),:);
Better_Cost=Cost(ind(I));
% Update Convergence_curve
Convergence_curve(it)=Best_Cost;
% Show Iteration Information
disp(['Iteration ' num2str(it) ',: Best Cost = ' num2str(Best_Cost)]);
end
end
function X = BC(X,lb,ub)
Flag4ub=X>ub;
Flag4lb=X<lb;
X=(X.*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;
end
4.参考文献
[1]Wan T H, Tsang C W, Hui K, et al. Anomaly detection of train wheels utilizing short-time Fourier transform and unsupervised learning algorithms[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2023, 122: 106037.
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