P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截题解

最新推荐文章于 2025-10-27 15:01:21 发布

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最新推荐文章于 2025-10-27 15:01:21 发布 · 830 阅读

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#算法 #c++ #动态规划 #数据结构

本文探讨了利用序列动态规划(DP)解决最长不上升序列问题，并通过线段树优化时间复杂度至O(nlogn)。同时，介绍了如何应用类似方法处理最长上升子序列问题。关键步骤包括设计dp数组，更新策略以及线段树的使用。

思路 : 序列 DP + 线段树优化 DP

首先第一个问题，其实就是求最长不上升序列

我们设计 ${dp}_{i}$ 为从 1 到 $i$ 且其最长不上升序列以 $i$ 为结尾的序列长度。那么我们可以从比当颗导弹高或相等的导弹中更新答案。即为:

dp[i] = max{
   
   dp[v]} + 1 (a[v] >= a[i] && v <= i)

这里时间复杂度为 $O(n^2)$

对于第二个问题，我们可以想到，假如我们先用一个拦截设施把所有能打下来的导弹都打下来，剩下的拦截设施重复这个动作，一直到所有导弹被拦截。假设我们得到的是最小划分（题目要求）的 $k$ 组导弹。那么对于第 $i$ 组导弹中任取，在第 $i + 1$ 必定有一个导弹要比这颗导弹高，如果没有，那么我们完全可以把 $i + 1$ 组合并到第 $i$ 组。