[CF436E] Cardboard Box 题解

Cardboard Box

题意

有 $n$ 个任务，在第 $i$ 个任务得 $1$ 分需要花费 $a_i$，得 $2$ 分需要花费 $b_i$，保证 $a_i<b_i$。求得到 $k$ 分的最小花费。

$1\le n\le 3\times 10^5$，$1\le k\le 2n$。

思路

三个 priority_queue。

记 $cn{t}_x$ 为当前第 $x$ 个任务的得分。

假设我们已经求出 $k=i-1$ 的最优解，考虑求出 $k=i$ 的最优解。

有两种可能的操作：

进一步

• 若 $cn{t}_x=0$，进一步就是 $1$，花费为 $a_i$。
• 若 $cn{t}_x=1$，进一步就是 $2$，花费为 $b_i-a_i$。

把所有能够进一步的存进一个小根堆里面。取出当前堆顶作为可能的最优决策。

退一步，进两步

退一步就是把之前进的某一步退流（反悔掉）。

进两步，当且仅当 $cn{t}_x=0$ 时，它有进两步的可能。

一次性进两步的，退流也应该是先退后一步，再退前一步。

用于反悔的决策存进大根堆里面，用于进两步的存进另一个小根堆里面。

---

注意在变更 $cn{t}_x$ 的时候维护好三个堆，并且及时弹出堆内已经过时的东西。

个人在实现的时候，手写了三个仿函数，不手写仿函数在外层多套一个 pair 也不是不行，不过个人认为手写仿函数可以清晰一些。

代码

代码很短。

访问之前记得判非空。if (!aq.empty() && ...)，不判必挂。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <utility>
#define fi first
#define se second

using namespace std;
using LL = long long;
using LLL = __int128;
using pii = pair<int, int>;
const int MAXN = 1e6+5;
mt19937 rnd(random_device{}());

template<typename Tp> void read(Tp &res) {
    char ch; bool op = 0; res = 0;
    do ch = getchar(), op |= ch == '-'; while (ch < '0' || ch > '9');
    do res = (res<<3)+(res<<1)+ch-48, ch = getchar(); while (ch>='0' && ch<='9');
    if (op) res = -res;
}

int n, k, a[MAXN], b[MAXN];
int cnt[MAXN];

inline int calc(pii x) { return x.se == 1 ? a[x.fi] : b[x.fi] - a[x.fi]; }

class cmp1 {
    public:
    bool operator()(pii x, pii y) { return calc(x) > calc(y); }
};
class cmp2 {
    public:
    bool operator()(int x, int y) { return b[x] > b[y]; }
};
class cmp3 {
    public:
    bool operator()(pii x, pii y) { return calc(x) < calc(y); }
};

priority_queue<pii, vector<pii>, cmp1> aq; // 前进一步 
priority_queue<int, vector<int>, cmp2> bq; // 前进两步 
priority_queue<pii, vector<pii>, cmp3> rq; // 后退一步 

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cf436e.in", "r", stdin);
    freopen("cf436e.out", "w", stdout);
    #endif
    read(n), read(k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        read(a[i]), read(b[i]);
        aq.push(make_pair(i, 1)), bq.push(i);
    }
    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        while (!aq.empty() && cnt[aq.top().fi] != aq.top().se - 1) aq.pop();
        while (!bq.empty() && cnt[bq.top()]) bq.pop();
        while (!rq.empty() && cnt[rq.top().fi] != rq.top().se) rq.pop();
        // 过时的东西，统统 pop 掉
        if (!aq.empty() &&
        (bq.empty() || rq.empty() || calc(aq.top()) < b[bq.top()] - calc(rq.top()))) {
            pii x = aq.top(); aq.pop();
            ans += calc(x);
            cnt[x.fi] = x.se;
            rq.push(x);
            if (x.se == 1) aq.push(make_pair(x.fi, 2));
        } else {
            int x = bq.top(); bq.pop();
            pii y = rq.top(); rq.pop();
            --cnt[y.fi], cnt[x] = 2;
            ans += b[x] - calc(y);
            rq.push(make_pair(x, 2));
            aq.push(y);
            if (y.se == 2) rq.push(make_pair(y.fi, 1));
            else bq.push(y.fi);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d", cnt[i]);
    return 0;
}