【栈的应用】栈的出栈序列问题研究

在平日的关于栈学习当中，我们会经常遇到关于栈的出栈序列的问题。

虽然这些问题很多可以通过穷举法实现解决。

但是遇到了考试或者面试的时候，往往穷举法会花费大量的时间。

于是寻找类似问题的规律往往是更高效的解决办法。

在首先，我们先判断出栈的元素的顺序是否合法

一、出栈序列的合法化问题：

例题1：若元素进栈的 顺序为1-2-3-4，能否得到出栈序列为3-1-2-4？

分析：若出栈序列的首个元素为3，则可以知道在栈内的元素如下

(栈底)1-2(栈顶)。则第二个出栈元素可以是已在栈顶的2，也可以是在栈外的4。不可能是在非栈顶的1。

所以答案：否。

例题2：已知元素进栈序列为1-2-3-4，请问如何得到1-3-4-2的出栈序列？

分析：已知入栈和出栈首个元素是1，则可以知道元素1在进栈后立即出栈。则栈的操作为

入-出

第二个出栈的元素是3，则可以知道元素3在出栈时候栈内尚有元素2。则栈的操作为2入栈，3入栈，3出栈，得出操作序列

入-出-入-入-出

第三个出栈的元素是2，2则在栈顶，则可以知道下一个操作为出栈

入-出-入-入-出-出

最后一个元素为在栈外的4，则可以知道栈的操作为4入栈，4出栈，得出操作序列

入-出-入-入-出-出-入-出

例题3：证明入栈序列1-2-……-n，得到出栈序列A1-A2-A3-……An(是1、2…n的一种排列)的充要条件是：不存在i<j<k并且Aj<Ak<Ai。

(求证的充要条件的大意：在出栈序列中，若某后入栈的序列先出栈，不可能有比其先入栈的元素在该元素序列出栈后按入栈顺序出栈。