15、斯特姆 - 刘维尔理论与边界值问题

斯特姆 - 刘维尔理论与边界值问题

1. 奇异点的定义与分类

在处理微分方程时，奇异点的概念十分重要。若函数((x - x_0)P_1(x))和((x - x_0)^2P_2(x))在(x_0)的某个邻域内解析，那么(x_0)被称为微分方程的正则奇异点。这一定义本质上要求(P_1(x))在(x_0)处的奇点至多为一阶极点，(P_2(x))在(x_0)处的奇点至多为二阶极点。若奇点比这更严重，则(x_0)被称为非正则奇异点。下面仅讨论正则奇异点的情况。

示例分析

• 一般方程 ：对于某些方程，每一个点(x_0)都是普通点。
• 贝塞尔方程 ：(n)阶贝塞尔方程中，(P_1(x)=\frac{1}{x})，(P_2(x)=(1 - \frac{n^2}{x^2}))，点(x_0 = 0)是正则奇异点。
• 勒让德方程 ：((1 - x^2)X’’ - 2xX’ + \lambda(\lambda + 1)X = 0)，其中(P_1(x)=\frac{-2x}{1 - x^2})，(P_2(x)=\frac{\lambda(\lambda + 1)}{1 - x^2})，点(x_0 = 1)和(x_0 = -1)是正则奇异点，而(x_0 = 0)是普通点。

2. 普通点的求解示例

考虑方程(x’’ + \lambda^2X = 0)，以(x_0 = 0)为基点，寻求形式为(X(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}c_nx^n)的解。
由于解在