36、时间依赖快速路径的双向 A* 搜索

时间依赖快速路径的双向 A* 搜索

1. 引言

在时间依赖的道路网络中计算点对点的最短路径具有众多实际应用，但针对大型图提出高效算法的研究却相对较少。时间依赖图的路径规划存在一个难题，即我们无法提前知晓到达目的地的准确时间，因此应用双向搜索并非易事。

我们考虑时间依赖最短路径问题（TDSPP）：给定有向图 $G = (V, A)$，源节点 $s \in V$，目标节点 $t \in V$，时间间隔 $T$，出发时间 $\tau_0 \in T$ 以及时间依赖的弧权函数 $c : A \times T \to R^+$，需找到图 $G$ 中的路径 $p = (s = v_1, \ldots, v_k = t)$，使其时间依赖成本 $\gamma_{\tau_0}(p)$ 最小。其中，$\gamma_{\tau_0}(p)$ 的递归定义如下：
- $\gamma_{\tau_0}(v_1, v_2) = c(v_1, v_2, \tau_0)$
- $\gamma_{\tau_0}(v_1, \ldots, v_i) = \gamma_{\tau_0}(v_1, \ldots, v_{i - 1}) + c(v_{i - 1}, v_i, \tau_0 + \gamma_{\tau_0}(v_1, \ldots, v_{i - 1}))$（对于所有 $2 \leq i \leq k$）

同时，我们引入函数 $\lambda : A \to R^+$，其满足 $\forall (u, v) \in A, \tau \in T$，有 $\lambda(u, v) \leq c(u, v, \tau)$。也就是说，$\lambda(u, v)$ 是弧 $(u, v)$