86、利用神经网络求解扩散方程及智能导航助手SNAVI介绍

利用神经网络求解扩散方程及智能导航助手SNAVI介绍

利用神经网络求解扩散方程

在求解扩散方程的研究中，有多种方法可供选择，其中包括前向欧拉方法和神经网络方法。

理论基础

当$t \to \infty$时，若任意随机非零初始$\Delta$与$\Delta_{max}$不正交，它将趋近于$\Delta_{max}$。对应的最大特征值$\lambda_{max}$通过以下方程计算：
$\lambda = \frac{\upsilon^{T} A \upsilon}{\upsilon^{T} \upsilon}$
其中，对称矩阵$A$由$A = \frac{Q^{T} + Q}{2}$给出，$Q$是一个随机实矩阵。找到最大特征值$\lambda_{max}$后，通过在相应方程中用$-A$代替$A$，可轻松找到对应特征向量$\Delta_{min}$的最小特征值$\lambda_{min}$。

为了用神经网络求解方程，提出了一个试探解。由于$v \in R^{n}$，选择一个依赖于位置$x$和时间$t$的试探函数$\Psi (x, t)$，使得每个时间步的近似特征向量为$[v(1,t), v(2,t), \cdots, v(n,t)]^{T}$。方程可重写为：
$\frac{\partial \Psi (x, t)}{\partial t} = - \Psi (x, t) + f(\Psi (x, t))$
其中$t \geq 0$，$x = 1, 2, \cdots, n$。试探函数定义为$\Psi (x, t) = v_{0} + tN(x, t, p)$，$v_{0}$是随机选择的初始$v$，误差是方程两边的差值。