范 数

3.3  范 数

  3.3.1 向量范数

  在一维空间中,实轴上任意两点a,b距离用两点差的绝对值|a-b|表示。绝对值是一种度量形式的定义。

  范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式,只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量,采用不同的范数定义,可得到不同的范数值。

     定义3.1 对任一向量x  属于R n维空间,按照一个规则确定一个实数与它对应,记该实数记为,若满足下面三个性质:

  (1),有,当且仅当时,(非负性)(3.37)
  (2),有(齐次性)
  (3),有(三角不等式)

  那么称该实数为向量X的范数。

 

几个常用向量范数

  向量范数定义为

  

  其中,经常使用的是三种向量范数。

 

 

  或写成

  

 

   例3.5 计算向量的三种范数。

  

  

  

 

      向量范数的等价性

  有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。若上两种不同的范数定义,则必存在,使均有

  

  或

  (证明略)

 

 

 

转自  http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0329/course/_source/web/lesson/char3/j3.htm

在Python中,我们可以使用numpy库来生成矩阵并计算各种范数。首先,让我们了解几种常见的向量和矩阵范数: 1. **欧几里得范数 (2-norm)** 或者 L2 范数,它是每个元素平方和的平方根。对于列向量 `v`,其L2范数表示为 `||v||_2 = sqrt(sum(v[i]**2))`。 2. **曼哈顿范数 (1-norm)** 或者 L1 范数,它是绝对值之和。对于列向量 `v`,其L1范数表示为 `||v||_1 = sum(abs(v[i]))`。 3. **无穷范数 (infinity norm)** 或者 L-infinity 范数,它是最大的绝对值。对于列向量 `v`,其L-inf范数表示为 `||v||_∞ = max(abs(v[i]))`。 4. **算子范数 (Operator Norm)** 对于矩阵,通常是指最大特征值。对于矩阵 `A`,它的算子范数可以理解为它的行或列的最大L2范数,即 `||A||_op = max(max(row_norms), max(col_norms))`。 以下是简单的代码示例: ```python import numpy as np def l2_norm(matrix): return np.linalg.norm(matrix, ord=2) def l1_norm(matrix): return np.sum(np.abs(matrix), axis=0) def linf_norm(matrix): norms = np.max(np.abs(matrix), axis=0) return np.max(norms) def operator_norm(matrix): row_norms = np.linalg.norm(matrix, axis=1, ord=2) col_norms = np.linalg.norm(matrix, axis=0, ord=2) return np.max([max(row_norms), max(col_norms)]) # 创建一个示例m*n矩阵 m, n = 5, 3 matrix = np.random.rand(m, n) # 计算各种范数 l2_result = l2_norm(matrix) l1_result = l1_norm(matrix) linf_result = linf_norm(matrix) operator_result = operator_norm(matrix) print(f"L2范数: {l2_result}") print(f"L1范数: {l1_result}") print(f"L-infinity范数: {linf_result}") print(f"算子范数: {operator_result}") ``` 运行此代码,你会得到矩阵对应的各种范数的值。请注意,实际使用时,你需要替换 `np.random.rand(m, n)` 为你的实际据。
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