范　数

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3.3  范　数

　　3.3.1 向量范数

　　在一维空间中，实轴上任意两点a,b距离用两点差的绝对值|a-b|表示。绝对值是一种度量形式的定义。

　　范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。

     定义3.1 对任一向量x 属于R n维空间，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：

　　（1），有，当且仅当时，（非负性）（3.37）
　　（2），，有（齐次性）
　　（3），，有（三角不等式）

　　那么称该实数为向量X的范数。

 

几个常用向量范数

　　向量的范数定义为

　　

　　其中，经常使用的是三种向量范数。

 

 

　　或写成

　　

 

  　例3.5 计算向量的三种范数。

　　

　　

　　

 

      向量范数的等价性

　　有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有

　　

　　或

　　（证明略）

 

 

 

转自  http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0329/course/_source/web/lesson/char3/j3.htm

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