范 数

3.3  范 数

  3.3.1 向量范数

  在一维空间中,实轴上任意两点a,b距离用两点差的绝对值|a-b|表示。绝对值是一种度量形式的定义。

  范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式,只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量,采用不同的范数定义,可得到不同的范数值。

     定义3.1 对任一向量x  属于R n维空间,按照一个规则确定一个实数与它对应,记该实数记为,若满足下面三个性质:

  (1),有,当且仅当时,(非负性)(3.37)
  (2),有(齐次性)
  (3),有(三角不等式)

  那么称该实数为向量X的范数。

 

几个常用向量范数

  向量范数定义为

  

  其中,经常使用的是三种向量范数。

 

 

  或写成

  

 

   例3.5 计算向量的三种范数。

  

  

  

 

      向量范数的等价性

  有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。若上两种不同的范数定义,则必存在,使均有

  

  或

  (证明略)

 

 

 

转自  http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0329/course/_source/web/lesson/char3/j3.htm

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