求一定范围的素数个数(大表思路)

该博客介绍了如何解决在1到n范围内素数个数的问题,针对100000以内的n,提出了利用大表策略来计算。尽管这种方法可能导致超时,但给出了具体的实现代码。

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一.题目
给出n(1<=n<=100000),问1到n之间有几个素数。
输入格式
第1行,1个整数T(T<=100000),表示共有T组测试数据
第2—第T+1行,每行1个整数,表示测试数据n

输出格式
对于每个测试数据,输出1行,每行1个数,表示1到n之间的素数个数

输入样例
5
1
2
100
1000
5000

输出样例
0
1
25
168
669

二.思路
仍然是大表思路,虽然还是”超时“…

三.代码

#include <stdio.h>
#include<string.h>
int target[100000]; 
int temp[100000];    
int main ()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    temp[1]=1;
    
<think>好的,用户想了解如何用快速幂算法计算质数的个数。首先,我需要回忆快速幂算法的作用。快速幂主要用于高效计算指数的幂,比如$a^n$,其时间复杂度是$O(\log n)$,比普通的$O(n)$方法快很多。不过,质数统计通常涉及筛选法,比如埃拉托斯特尼筛法(埃氏筛)或欧拉筛,这些方法的时间复杂度是线性的或者接近线性的。 用户的问题可能有些混淆,因为快速幂本身并不直接用于统计质数。不过,可能存在某些特定场景或优化方法中结合了快速幂的思想。例如,在Miller-Rabin素数测试中,快速幂被用来进行模幂运算,以加速素数的概率判定。但统计质数个数通常还是依赖筛法。 接下来,我需要查阅提供的引用资料。引用[3]提到了质因子、质数、约数、余数、快速幂等,其中快速幂可能用于素数测试中的模运算。引用[4]中的LeetCode问题使用快速幂来处理指数的计算,可能类似的思路可以应用到某些质数统计的优化中。 可能的思路是:如果用户的问题是关于使用快速幂来优化某些步骤,比如在判定质数时使用Miller-Rabin测试,而该测试中的模幂运算需要快速幂。但统计质数个数的主流方法仍然是筛法,而快速幂可能在其中作为辅助工具。 需要指出的是,快速幂算法本身并不直接用于统计质数,但可以辅助某些素数判定算法。例如,Miller-Rabin测试中的快速模幂计算。因此,正确的回答应该澄清这一点,并说明两者的结合方式。 然后,我需要给出一个可能的实现方法,比如结合埃氏筛和快速幂进行优化,或者展示在Miller-Rabin测试中使用快速幂来加速单个质数的判定,进而统计质数数量。但需注意,对于规模质数统计,筛法更高效。 最后,生成相关问题,帮助用户进一步理解相关算法之间的关系和应用。</think>快速幂算法本身并不直接用于统计质数个数,但可以辅助优化质数判定的过程。结合快速幂的典型应用场景是在**Miller-Rabin素性测试**中加速模幂运算,从而高效判定单个数字是否为质数。以下是具体实现思路和方法: --- ### 一、快速幂与质数判定的结合原理 1. **Miller-Rabin素性测试** 通过选取多个基值对数字$n$进行测试,利用快速幂计算$a^{d \cdot 2^s} \mod n$的值,若结果不满足特定条件则判定$n$为合数。成功通过多轮测试的数可视为质数(概率正确)[^3]。 2. **快速幂的核心作用** 在模幂运算$a^b \mod n$中,快速幂将时间复杂度从$O(b)$优化到$O(\log b)$,极提升了判定效率[^2]。 --- ### 二、统计质数的实现步骤(结合快速幂) 1. **筛选候选数范围** 使用传统筛法(如埃氏筛)缩小范围,再对筛选后的候选数应用Miller-Rabin测试。 2. **Miller-Rabin测试实现** ```python def is_prime(n, k=5): if n <= 1: return False if n <= 3: return True # 将n-1分解为d*2^s d = n - 1 s = 0 while d % 2 == 0: d //= 2 s += 1 # 进行k轮测试 for _ in range(k): a = random.randint(2, min(n-2, 1 << 20)) x = pow(a, d, n) # 快速幂计算 if x == 1 or x == n-1: continue for __ in range(s-1): x = pow(x, 2, n) if x == n-1: break else: return False return True ``` 3. **统计质数个数** ```python def count_primes(n): if n < 2: return 0 sieve = [True] * (n+1) sieve[0] = sieve[1] = False for i in range(2, int(n**0.5)+1): if sieve[i]: sieve[i*i:n+1:i] = [False] * len(sieve[i*i:n+1:i]) candidates = [i for i, is_p in enumerate(sieve) if is_p] # 对筛选后的候选数进行二次验证 count = 0 for num in candidates: if is_prime(num): count += 1 return count ``` --- ### 三、性能分析 - **时间复杂度**:埃氏筛为$O(n \log \log n)$,快速幂辅助的Miller-Rabin测试为$O(k \log^3 n)$,综合效率仍低于纯筛法,但适合超范围的分段统计。 - **空间复杂度**:埃氏筛需要$O(n)$空间,可通过分段筛优化。 ---
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