对四元数旋转方法的一个更直观说明

最新推荐文章于 2025-06-04 22:57:57 发布

whycadi

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分类专栏：数学文章标签：四元数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/whycadi/article/details/107725870

听说现在搞空间控制都得学四元数，于是找了几篇文章看了看，但是一直二蒙二蒙的，前几天看到了《Understanding Quaternions 理解四元数》http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/ 这篇文章，茅塞顿开，自己拿纸笔画了画，终于搞明白了。搞明白了以后，我觉得其实还可以写得再直观一点，再简洁一点，所以我决定写一篇博客试着挑战一下，一来巩固自己的理解，二来试一试用新学的LaTex写公式。

四元数的发明者的历史什么的就不多说了，相信大家都看了很多了，我们还是聚焦于四元数本身吧。不过呢，说到四元数，还不得不先从复数说起。我们都知道复数，或者说虚数单位“ $i$ ”这个东西的来历，是因为实在在已知的数轴上找不到一个数来对应 $\sqrt{-1}$ 这个东西了，这个问题困扰了思想质朴的古代数学学们几千年，特别是在解方程的时候，二次方程判别式 $\Delta$ 小于0时就无解，这还罢了，到了三次方程，好不容易鼓捣出了通用求根公式，却发现经常会遇到开负数平方的情况，如果还像二次方程那样认为它无解吧，又偏偏很多情况下实际上是有实解的，现在我们知道，很多情况下求根公式中间过程中会产生一对共轭复根，最后它们的虚部会抵消掉，但是那时的数学家虽然已经知道偷偷摸摸的加入这么一个中间变量，但还是不能接受这也是一种数的概念，只能自欺欺人的说这只不过是个无意义的临时变量，没有实际意义，所以叫“虚数”。最后终于有那么位比较离经叛道的某人不管三七二十一地说“我觉得不要偷偷摸摸拐弯抹角的用他又不承认他，应该给他个名分”。这个做法真是石破天惊，一下子打开了一扇通往一个神秘新世界的大门。

现在 $i$ 终于有了个名分了，可是，实数可以用数轴上的一个点来表示，那虚数怎么办呢？数轴上，或者严格说实轴上可是没有他的位子的。也不知道是哪位先贤，某天在纸上画了一条线，这个是大家都知道的实轴，当他想画一个复数时，他的眼光停留在了数轴上下方广阔的空白空间上，突然想到了既然可以用平面直角座标系来表示一个二元函数x,y的关系，为什么不用来表示复数中的实部和虚部这一对二元关系呢？于是用平面直角座标系来表示复数的方法诞生了，复数从此与平面空间联系了起来，人们逐渐发现用复数来表示二维平面的关系有非常大的便利，因此复数的使用越来越广，复变成为一种重要的数学分支。

这里我们不讲太多复变函数方面的东西，只关注一下复数与二维平面的关系。一个实数，比如1吧，乘以 $i$ ，就变成了一个纯虚数 $i$ ，从复平面图上来看，就是从实轴上跳到了虚轴上，再乘以一个 $i$ ， $i$ × $i$ =-1，又跳到了负实轴上，接着乘下去，就会一直绕着原点逆时针转圈圈，所以可以看出每乘一次 $i$ ，就是逆时钟转 $\pi/2$ 。那么如果乘 $-i$ 呢，就是顺时针转（注意这个结论）。那么是不是任意一个复数乘 $i$ 都是转 $\pi/2$ 呢？结论大家其实都知道，只是我这里还是要用一个比较特别的思路说一下。

假设一个复数 $z=$ $a+bi$ ,我们可以把它拆开来，看作是两个相互垂直的矢量 $a\cdot\vec{r}$ 和矢量 $b\cdot\vec{i}$ 的和，这里 $\vec{r}$ 是实轴方向的单位矢量， $\vec{i}$ 是虚轴方向的单位矢量，a ,b是实系数，代表矢量的长度。一个复数就可以看作是这么两个矢量的矢量和。那么将这个z去乘i , 也可以看作是将两个分量 $a\cdot\vec{r}$ 和 $b\cdot\vec{i}$ 分别去乘 i再加起来。此时 $a\cdot\vec{r}$ 变成了 $a\cdot\vec{i}}$ ,旋转了 $\pi/2$ ， $b\cdot\vec{i}$ 变成了 $b\cdot-\vec{r}$ ,也旋转了 $\pi/2$ ，它们之间的相对位置和大小都没有变，只是整体旋转了 $\pi/2$ ，因此他们的合矢量当然也就旋转了 $\pi/2$ ，其它都没有变。所以我们可以得到结论，任意复数 $z=\vec{z}$ ,它乘以 $i$ 都是逆时针旋转 $\pi/2$ 。

为什么要这样解释这个 $\pi/2$ 的转动呢？因为这样比较好理解如何旋转任意角度。我们可以把一个矢量的旋转过程分成两个过程，比如要把矢量 $z=\vec{z}$ 旋转 $\theta$ 角度，我们可以先把 $\vec{z}$ 旋转 $\pi/2$ ，并且把它的长度缩短为 $\sin\theta$ ,这个过程相当于 $z \cdot i \sin\theta$ ，然后,再将原来的矢量缩短为 $\cos\theta$ 倍大小，并加上这个旋转并缩小过后的矢量，也就是 $z\cdot \cos\theta + z\cdot i \sin\theta$ , 最终的结果就是将 $z$ 旋转了 $\theta$ 角度。而

$z\cdot \cos\theta + z\cdot i \sin\theta = z \cdot(\cos\theta + i \sin\theta)$ ，所以旋转 $\theta$ 角度就相当于乘以一个复数 $\cos\theta + i \sin\theta$ 。

好了，说了这么多，总算把复数的有关知识复习完了，之所以先说这些，是因为四元数的思想，其实和这个是相同的。接下来我们正式开始四元数的介绍。

自从发现了复数可以表示二维平面后，很多人就在想三维空间能不能也用一种复数来表示，能不能也有像二维复数这样方便的表示旋转、拉申等操作的方法。一个很自然的想法是把复数空间简单的扩展成三维的，比如在实轴、虚轴 $i$ 之外，再扩展一个与这两个轴正交的轴 $j$ 轴，顺便说一下，这个 $j$ 轴的正方向如果朝背离我们的方向而去，就是一个左手系，如果朝着我们的方向就是一个右手系。两种定义都有人用，我们从小学习的数学书上一般都是左手系，而上面引的那篇文章用的是右手系。我个人习惯还是倾向左手系。