三维空间中两次旋转等效为一次旋转的计算方法(四元数)

首先介绍一下四元数：
四元数是一种高阶复数，其形式如下：
H=span{ 1,i,j,k}\mathbb{H} = span\{1,i,j,k\}H=span{ 1,i,j,k}, $q=a+bi+cj+dk$
其中$i$, $j$, $k$, 为虚数，其运算方法如下：
$i^2=-1$, $j^2=-1$, $k^2=-1$
$i\times j=k$, $i\times k=-j$, $j\times k=i$, $j\times i=-k$, $k\times i=j$, $k\times j=-i$.
$i\times 1$ = $1\times i$ = $i$, $j\times 1$ = $1\times j$ = $j$, $k\times 1$ = $1\times k$ = $k$
（与向量叉乘较为类似）
$q=a+bi+cj+dk$ 的共轭四元数：
$q^{\ast }=a-bi-cj-dk$
满足： $q{q}^{\ast }=a^2-(bi+cj+dk{)}^2=a^2+b^2+c^2+d^2-bck+bck-cdi+cdi-bdj+bdj=a^2+b^2+c^2+d^2=|q{|}^2$
其中$|q|$ 为$q$ 模长，其定义如下
$|q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$
两个不同四元数相乘：
$q_1=a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k$
$q_2=a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k$
$q_1{q}_2=a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2+a_1{b}_{2}i+a_1{c}_{2}j+a_1{d}_{2}k+a_2{b}_{1}i+a_2{c}_{1}j+a_2{d}_{1}k+(c_1{d}_2-c_2{d}_1)i+(d_1{b}_2-d_2{b}_1)j+(b_1{c}_2-c_1{b}_2)k$
如果我们将$\vec{u}=(b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)$和$\vec{v}=(b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)$ 分别视为两个向量，其中$(i,j,k)$构成正交基矢量，则有：
$q_1{q}_2=a_1{a}_2-\vec{u}\cdot \vec{v}+Q(a_1\vec{v}+a_2\vec{u}+\vec{u}\times \vec{v})$
（其中Q()是将单位向量$(i,j,k)$ 转化为虚数$(i,j,k)$的符号）
而$q_1{q}_2$的共轭四元数应为：
(q1q2)∗=a1a2−u⃗⋅v⃗−Q(a1v⃗+a2u⃗+