浮点数问题

最新推荐文章于 2024-05-23 09:16:59 发布

whoismickey

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文章标签：扩展读书 float 编程

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IEEE 浮点数格式

LiYanrui posted @ 9 个月前 in 程序设计 with tags IEEE Float , 846 阅读

Pygsl 的基本使用方法

IEEE 754 标准规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。《编程卓越之道》第一部的 4.2 节对这些浮点数格式已进行了详细的讲解，为了让读书笔记更像读书笔记，本文只道出个人的一些理解以及一些疑惑之处。

IEEE 浮点数标准的由来

话说 Intel 计划给最早的 8086 增加浮点运算单元 (FPU) 时，他们请来了最好的数值分析专家来为 8087 FPU 设计浮点数格式，这位专家接着又请来了该领域的另外两位专家，这三个人 (Kahn, coonan 与 Stone) 设计了 Intel 的浮点格式，即 KCS 浮点数标准。这个标准实在太出色了，因此 IEEE 组织将 KCS 选作为 IEEE 浮点数格式的基础，即 IEEE 标准 754。

单精度浮点数

IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数的长度为 32 位，按位域可划分为：符号位、阶码位与尾数位，如下：

  31----------------------22---------------------------------------------------------0
  |                       |                                                          |
  X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X
  | |-------------------| |----------------------------------------------------------|
符号        阶码                                     尾数

符号位取 0 表示正数，取 1 表示负数。

阶码位是 8 位，这里有一点小门道需要注意，那就是 $2^n$ 的指数 n 并不能直接当作阶码来处理，需要将其与 127 (0x7f) 相加才可得到 $2^n$ 的阶码表示。

尾数的位域长度在图示中是 23 位，但实际上却是 24 位，这个位是“不可见”的，其值固定为 1，这也就是说 IEEE 754 标准所定义的浮点数，其有效数字是介于 1 与 2 之间的小数。

可以尝试写一下 1.0 这个数的二进制单精度浮点格式，这有助于更好地理解单精度浮点数格式的位域分布。

1.0 的二进制单精度浮点格式：0 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

值得注意的一个问题是：书上说之所以要将指数加上 127 来得到阶码，是为了简化浮点数的比较运算，这一点我没有体会出来。但是通过 127 这个偏移量 (移码)，可以区分出指数的正负。阶码为 127 时表示指数为 0；阶码小于 127 时表示负指数；阶码大于 127 时表示正指数。

第二个值得思考的问题是：使用 24 位尾数，大概可以得到 $6/frac{1}{2}$ 个十进制数字的精度，其中的“半个”数字由 FPU 的好意而产生的一个随机数字，这个数字通常接近 5 (四舍五入？)。

第三个问题是我经常要碰到的：IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数所表示的数的范围是多少？书上给出的答案是大约为 $2^{/pm128}$ 或者大约 $10^{/pm38}$ 。这个比较好理解，因为尾数的最大值是接近 2，而指数的范围是 [-127, 127]，那么这个范围就可以表示为 $2/times2^{/pm127}$ 。