LeetCode----Maximum Subarray

最新推荐文章于 2018-03-09 21:30:35 发布

白熊花田

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分类专栏： Python 编程之美 LeetCode 文章标签： DP 动态规划 leetcode 分治法

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本文介绍了寻找具有最大和的连续子数组的多种算法实现方法，包括直接法、分治法和动态规划法，并提供了详细的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

click to show more practice.

More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

分析：

求数组的子数组之和的最大值。这题曾经在编程之美上看到过，直接给出书上的思路和解法。

解法一：

直接法，记Sum[i, ..., j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和，遍历所有可能的Sum[i, ..., j]，其中Sum[i, ..., j] = Sum[i, ..., j - 1] + A[j]. 其时间复杂段为O(n^2)

代码：

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        maxsum = -10000000
        i = 0
        while i < n:
            csum = 0
            j = i
            while j < n:
                csum += nums[j]
                if csum > maxsum:
                    maxsum = csum
                j += 1
            i += 1
        return maxsum

解法二：

分治法，将数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1])分为长度相等的两段数组(A[0], ..., A[n/2 - 1])和(A[n/2], ..., A[n - 1])，分别求出这两段数组各自的最大子段和，则原数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1]的最大子段和为以下三种情况下的最大值：

1. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1])的最大子段和相同；

2. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和相同；

3. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和跨过A[n/2 - 1]和A[n/2]

第1和2两种情况可以根据递归可得，对于第3种情况，我们要找到以A[n/2 - 1]结尾的和最大的一段数组之和s1 = (A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1]) (0<=i<n/2 - 1)和以A[n/2]开始的最大的一段数组之和s2 = (A[n/2], ..., A[j]) (n/2 <= j < n).那么第三种情况的最大值为s1 + s2 = A[i] + ... + A[n/2 - 1] + A[n/2] + ... + A[j]，只需要对原数组进行一次遍历即可。

其时间复杂段为O(n*logn).

代码：

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        return self.findMaxSubArray(nums, 0, len(nums) - 1)

    def findMaxCrossSubarray(self, nums, low, mid, high):
        # 跨越
        INIFINITE = -1000000
        left_sum = INIFINITE
        csum = 0
        i = mid

        '''
        计算以A[n/2 - 1]为结尾的最大的一段子数组之和
        '''
        while i >= low:
            csum += nums[i]
            if csum > left_sum:
                left_sum = csum
            i -= 1

        right_sum = INIFINITE
        csum = 0
        i = mid + 1

        '''
        计算以A[n/2]开始的最大的一段子数组之和
        '''
        while i <= high:
            csum += nums[i]
            if csum > right_sum:
                right_sum = csum
            i += 1

        return left_sum + right_sum

    def findMaxSubArray(self, nums, low, high):
        if low == high:
            return nums[low]
        else:
            mid = (low + high) / 2
            left = self.findMaxSubArray(nums, low, mid)
            right = self.findMaxSubArray(nums, mid + 1, high)
            cross = self.findMaxCrossSubarray(nums, low, mid, high)
            return max(left, cross, right)

解法3：

动态规划法。考虑数组的第一个元素A[0]，以及最大的一段数组(A[i], ..., A[j])跟A[0]之间的关系，有以下几种情况：

1. 当0 = i = j时，元素A[0]本身构成和最大的一段；

2. 当0 = i < j时，和最大的一段以A[0]开始；

3. 当0 < i时，元素A[0]跟和最大的一段没有关系。

从上面三种情况可以看出，可以将一个大问题（n个元素的数组）转化为一个较小的问题（n - 1个元素的数组）。

设(A[1], ..., A[n - 1])中的最大一段数组之和为All[1]，设(A[1], ..., A[n - 1])中包含A[1]的最大一段数组为Start[1]。

则 (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大一段数组之和All[0]为max{A[0], A[0] + Start[1], All[1]}.

时间复杂度为O(n).

代码：

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        start = [0] * n
        start[n - 1] = nums[n - 1]
        All = [0] * n
        All[n - 1] = nums[n - 1]
        i = n - 2
        while i >= 0:
            start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])
            All[i] = max(start[i], All[i + 1])
            i -= 1
        return All[0]

由于start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])中，如果start[i + 1] < 0，则start[i] = A[i]. 而且，在这两个递推式中，start[i + 1]只有在计算start[i]时使用，而All[j + 1]也只有在计算All[k]时使用。所以可以只使用两个变量即可。空间复杂度变为O(1).

代码：

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        nstart = nums[n - 1]
        nAll = nums[n - 1]
        i = n - 2
        while i >= 0:
            nstart = max(nums[i], nums[i] + nstart)
            nAll = max(nstart, nAll)
            i -= 1
        return nAll