LeetCode----Maximum Subarray

本文介绍了寻找具有最大和的连续子数组的多种算法实现方法,包括直接法、分治法和动态规划法,并提供了详细的代码示例。

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Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

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More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

分析:

求数组的子数组之和的最大值。这题曾经在编程之美上看到过,直接给出书上的思路和解法。


解法一:

直接法,记Sum[i, ..., j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和,遍历所有可能的Sum[i, ..., j],其中Sum[i, ..., j] = Sum[i, ..., j - 1] + A[j]. 其时间复杂段为O(n^2)

代码:

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        maxsum = -10000000
        i = 0
        while i < n:
            csum = 0
            j = i
            while j < n:
                csum += nums[j]
                if csum > maxsum:
                    maxsum = csum
                j += 1
            i += 1
        return maxsum


解法二:

分治法,将数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1])分为长度相等的两段数组(A[0], ..., A[n/2 - 1])和(A[n/2], ..., A[n - 1]),分别求出这两段数组各自的最大子段和,则原数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1]的最大子段和为以下三种情况下的最大值:

1. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1])的最大子段和相同;

2. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和相同;

3. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和跨过A[n/2 - 1]和A[n/2]

第1和2两种情况可以根据递归可得,对于第3种情况,我们要找到以A[n/2 - 1]结尾的和最大的一段数组之和s1 = (A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1]) (0<=i<n/2 - 1)和以A[n/2]开始的最大的一段数组之和s2 = (A[n/2], ..., A[j]) (n/2 <=  j < n).那么第三种情况的最大值为s1 + s2 = A[i] + ... + A[n/2 - 1] + A[n/2] + ... + A[j],只需要对原数组进行一次遍历即可。

其时间复杂段为O(n*logn).

代码:

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        return self.findMaxSubArray(nums, 0, len(nums) - 1)

    def findMaxCrossSubarray(self, nums, low, mid, high):
        # 跨越
        INIFINITE = -1000000
        left_sum = INIFINITE
        csum = 0
        i = mid

        '''
        计算以A[n/2 - 1]为结尾的最大的一段子数组之和
        '''
        while i >= low:
            csum += nums[i]
            if csum > left_sum:
                left_sum = csum
            i -= 1

        right_sum = INIFINITE
        csum = 0
        i = mid + 1

        '''
        计算以A[n/2]开始的最大的一段子数组之和
        '''
        while i <= high:
            csum += nums[i]
            if csum > right_sum:
                right_sum = csum
            i += 1

        return left_sum + right_sum

    def findMaxSubArray(self, nums, low, high):
        if low == high:
            return nums[low]
        else:
            mid = (low + high) / 2
            left = self.findMaxSubArray(nums, low, mid)
            right = self.findMaxSubArray(nums, mid + 1, high)
            cross = self.findMaxCrossSubarray(nums, low, mid, high)
            return max(left, cross, right)


解法3:

动态规划法。考虑数组的第一个元素A[0],以及最大的一段数组(A[i], ..., A[j])跟A[0]之间的关系,有以下几种情况:

1. 当0 = i = j时,元素A[0]本身构成和最大的一段;

2. 当0 = i < j时,和最大的一段以A[0]开始;

3. 当0  < i时,元素A[0]跟和最大的一段没有关系。

从上面三种情况可以看出,可以将一个大问题(n个元素的数组)转化为一个较小的问题(n - 1个元素的数组)。

设(A[1], ..., A[n - 1])中的最大一段数组之和为All[1],设(A[1], ..., A[n - 1])中包含A[1]的最大一段数组为Start[1]。

则 (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大一段数组之和All[0]为max{A[0], A[0] + Start[1], All[1]}.

时间复杂度为O(n).

代码:

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        start = [0] * n
        start[n - 1] = nums[n - 1]
        All = [0] * n
        All[n - 1] = nums[n - 1]
        i = n - 2
        while i >= 0:
            start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])
            All[i] = max(start[i], All[i + 1])
            i -= 1
        return All[0]

由于start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])中,如果start[i + 1] < 0,则start[i] = A[i]. 而且,在这两个递推式中,start[i + 1]只有在计算start[i]时使用,而All[j + 1]也只有在计算All[k]时使用。所以可以只使用两个变量即可。空间复杂度变为O(1).

代码:

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        nstart = nums[n - 1]
        nAll = nums[n - 1]
        i = n - 2
        while i >= 0:
            nstart = max(nums[i], nums[i] + nstart)
            nAll = max(nstart, nAll)
            i -= 1
        return nAll


### LeetCode 刷题推荐列表与学习路径 在 LeetCode 上进行刷题时,制定一个合理的计划非常重要。以下是一个基于算法分类的学习路径和推荐题目列表[^1]: #### 学习路径 1. **基础算法理论** 在开始刷题之前,建议先通过视频或书籍了解基本的算法理论。例如,分治法、贪心算法、动态规划、二叉搜索树(BST)、图等概念[^1]。 2. **数据结构基础** 熟悉常见的数据结构,包括数组、链表、栈、队列、哈希表、树、图等。确保对这些数据结构的操作有深刻理解。 3. **分模块刷题** 按照以下顺序逐步深入: - 树:从简单的遍历问题(如前序、中序、后序遍历)开始,逐渐过渡到复杂问题(如二叉搜索树验证、平衡二叉树等)。 - 图与回溯算法:学习图的表示方法(邻接矩阵、邻接表),并练习深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。结合回溯算法解决组合问题、排列问题等。 - 贪心算法:选择一些经典的贪心问题(如活动选择问题、区间覆盖问题)进行练习。 - 动态规划:从简单的 DP 问题(如爬楼梯、斐波那契数列)入手,逐步掌握状态转移方程的设计技巧。 4. **刷题策略** 刷题时优先选择简单或中等难度的题目,并关注通过率较高的题目。这有助于建立信心并巩固基础知识[^1]。 #### 推荐题目列表 以下是按算法分类的 LeetCode 题目推荐列表: 1. **树** - [104. 二叉树的最大深度](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/) - [94. 二叉树的中序遍历](https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/) - [236. 二叉树的最近公共祖先](https://leetcode-cn.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree/) 2. **图与回溯** - [79. 单词搜索](https://leetcode-cn.com/problems/word-search/) - [51. N皇后](https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/) - [78. 子集](https://leetcode-cn.com/problems/subsets/) 3. **贪心** - [455. 分发饼干](https://leetcode-cn.com/problems/assign-cookies/) - [135. 分发糖果](https://leetcode-cn.com/problems/candy/) - [406. 根据身高重建队列](https://leetcode-cn.com/problems/queue-reconstruction-by-height/) 4. **动态规划** - [70. 爬楼梯](https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/) - [53. 最大子数组和](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/) - [300. 最长递增子序列](https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/) #### 示例代码 以下是一个简单的动态规划问题示例——“不同路径”[^3]: ```python def uniquePaths(m, n): dp = [[1] * n for _ in range(m)] for i in range(1, m): for j in range(1, n): dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] return dp[-1][-1] # 测试用例 print(uniquePaths(3, 2)) # 输出:3 ``` ###
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