矩阵快速幂（校赛）

最新推荐文章于 2020-12-28 00:08:27 发布

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本文介绍了一种使用快速幂方法解决特定形式的递推数列问题的方法，并提供了一个C++实现示例。该方法适用于求解形如F[n]=A*F[n-1]+B*F[n-2]+C*(n+1)*(n-2)的大规模数值问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：
天外天非常喜欢数列，现在averyboy给了天外天一个数列：F[n] = A * F[n - 1] + B * F[n - 2] + C * (n + 1) * (n - 2)(n >= 3)
其中F[1] = 1, F[2] = 2, 现在天外天把这个问题给你，对于给定N, A, B, C,你需要输出F[N], 因为答案很大，所以你需要对1000000007
取模。

输入描述：
第一行一个整数T,表示测试数据的组数。（T <= 100）
接下来T组测试数据，每组包括四个整数N, A, B, C;(N <= 1e18, A, B, C <= 1e5)

输出描述：
一个整数，F[N]对1000000007取模

样例输入：
4
1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1

样例输出：
Case #:1 1
Case #:2 2
Case #:3 7
Case #:4 19

第一次做快速幂的题

感觉就是从f(n-1)凑到f(n);

代码：

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
const LL Mod = 1e9+7;
LL n,a,b,c;
struct ma
{
    LL m[5][5];
    ma()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
ma mul(ma a,ma b)
{
    ma c;
    for(int i = 0;i < 5;i++)
        for(int j = 0;j < 5;j++)
        for(int k = 0;k < 5;k++)
        {
            c.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
            if(c.m[i][j] < 0)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + Mod) % Mod;
            c.m[i][j] = c.m[i][j] % Mod;
        }
    return c;
}
ma pow(ma a,LL n)
{
    ma c;
    for(int i = 0;i < 5;i++)
        c.m[i][i] = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            c = mul(c,a);
        n >>= 1;
        a = mul(a,a);
    }
    return c;
}
int main()
{
     freopen("C:\\Users\\hasee\\Desktop\\比赛\\题目\\F\\in.txt","r",stdin);
     freopen("C:\\Users\\hasee\\Desktop\\比赛\\题目\\F\\out1.txt","w",stdout);
     int T;
     scanf("%d",&T);
     int num = 1;
     while(T--)
     {
         scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
         if(n == 1)
            printf("Case #:%d 1\n",num++);
         else if(n == 2)
            printf("Case #:%d 2\n",num++);
         else if(n == 3)
            printf("Case #:%d %lld\n",num++,(2*a + b + 4*c) % Mod);
         else
         {
             LL x1 = (2*a + b + 4*c) % Mod;
             ma m1,m2;
             m1.m[0][0] = a;
             m1.m[0][1] = b;
             m1.m[0][2] = c;
             m1.m[0][3] = 0;
             m1.m[1][0] = m1.m[2][2] = m1.m[2][3] = m1.m[3][3] = m1.m[3][4] = m1.m[4][4] = 1;
             m2.m[0][0] = x1;
             //cout<<"x1:"<<x1<<endl;
             m2.m[1][0] = 2;
             m2.m[2][0] = 10;
             m2.m[3][0] = 8;
             m2.m[4][0] = 2;
             m1 = pow(m1,n-3);
             m2 = mul(m1,m2);
             printf("Case #:%d %lld\n",num++,m2.m[0][0]);
         }
     }
     return 0;
}