多重背包问题 二进制优化 java 路径记录

Java实现多重背包问题:二进制拆分解法,
本文介绍了如何使用Java解决多重背包问题,特别是通过二进制拆分策略优化解题。文章提到可以利用二维数组来记录当前状态,从而找出硬币组合的需求量。
### 多重背包问题中的二进制优化 对于多重背包问题,当每种物品的数量较大时,直接枚举所有可能的选择会导致极高的时间复杂度。为了降低这种复杂度并提高效率,引入了二进制优化方法。 #### 朴素方法的时间复杂度过高 在处理大量相同数量的物品时,比如每种物品有2000个,总数达到1000种不同类型的物品,每个物品体积为2000单位的情况下,使用简单的枚举方式会使数据量变得异常庞大,使得常规算法难以承受其计算负担[^1]。 #### 二进制分解策略 通过将每个物品按照二进制位拆分来表示不同的组合数,可以有效减少需要考虑的状态数目。具体来说,假设某类物品最多可选`S`件,则可以通过一系列形如\( \{2^0, 2^1,...,2^{k-1}, S - (2^k - 1)\} \) 的子集覆盖所有的选取可能性,其中 \( k=\lfloor\log_2(S)\rfloor\) 。这种方法不仅简化了状态转移方程的设计,还大大降低了整体运算次数[^3]。 #### C++实现示例 以下是基于上述理论改进后的C++代码片段: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 7; int dp[N]; struct Item { int v, w, s; }; void binary_optimization(Item items[], int n, int m) { vector<Item> new_items; for (int i = 0; i < n; ++i) { int num = items[i].s; for (int cnt = 1; ; cnt <<= 1) { if (cnt > num) break; new_items.push_back({items[i].v * cnt, items[i].w * cnt}); num -= cnt; } if (num > 0) new_items.push_back({items[i].v * num, items[i].w * num}); } memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (auto& item : new_items) for (int j = m; j >= item.v; --j) dp[j] = max(dp[j], dp[j - item.v] + item.w); } int main() { int n, m; cin >> n >> m; Item items[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> items[i].v >> items[i].w >> items[i].s; binary_optimization(items, n, m); cout << dp[m] << endl; } ``` 此版本利用了动态规划的思想,在遍历过程中不断更新最优解,从而实现了更高效的求解过程[^4]。
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