莫比乌斯反演

首先

莫比乌斯反演是数论中的重要内容，在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下求和函数：

                                                                         

一道经典的莫比乌斯反演题：
求：∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==d]∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==d]
也就是说有多少对(i,j)的gcd为d。 

莫比乌斯反演定理：

设

  和      是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

                                                                        

                                                                        

                                           则有：

                                                                           

相关证明可以去百度百科搜一下：传送

莫比乌斯函数

• μ（x）=1            x=1
• μ（x）=0            x存在平方因子
• μ（x）=-1           x有基数个质因子（其中包括x为质数）
• μ（x）=1            x有偶数个质因子

接下来介绍一种线性筛的做法来筛出莫比乌斯函数。：

参考：https://blog.youkuaiyun.com/Ripped/article/details/70263965

if (i % p[j] == 0)这句话非常关键，也是为什么这个筛法是线性筛的原因。
同样把这个程序的μ[x]μ[x] 去掉就是单纯的质数筛，同样这个质数筛由于if (i % p[j] == 0) 的存在，也是一个线性筛。

void mobius()
{
    int i,j; mbs[1] = 1;
    fo(i,2,N)
        {
            if (!vis[i]) {p[++p[0]] = i; mbs[i] = -1;}
            for (j = 1;j <= p[0] && i * p[j] <= N; j++)
                {
                    vis[i*p[j]] = 1;
                    if (i % p[j] == 0) {mbs[i*p[j]] = 0; break;}
                    mbs[i*p[j]] = - mbs[i];
                }
        }
}

构造

记g(x)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==d]。
然后我们构造一个f(x)f(x) ，这里我们用到第二组莫比乌斯反演公式，那么f(x)是什么呢？根据公式f(x)    应该是若干个g(x) 的和。接下来记N=min(n,m)，也就是gcd的上限，那么我们可以得到：（这里的d不要和公式的d搞混）
f(d)=g(d)+g(2d)+g(3d)+...+g(⌊Nd⌋)
即：
f(d)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)%d==0]
写成公式的形式就是：
f(d)=∑d|pg(p)(p<=N)
我们完成了构造，反演一下来看看结果如何：
g(d)=∑d|pμ(pd)f(p)
现在看起来问题转换成了如何求f(x) 。f(x)指的是满足gcd(i,j)是d的倍数的数对，显然有f(x)=⌊nx⌋⌊mx⌋。