Problem Seven:[NOI 2010 能量采集]-优快云博客

本文针对一个具体的数学算法竞赛题目进行了解析，通过反向递推的方法解决了求∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)的问题，并给出了两种不同的实现代码。第一种代码适用于单组询问的情况，而第二种代码则适用于多组询问的情况。

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

\sum i = 1 n \sum j = 1 m g c d (i, j) 单 组 询 问 ， 反 向 递 推 f (x) 表 示 g c d (i, j) = = x 的 对 数 f (x) = (n / x) * (m / x) - \sum i = 1 m i n (n, m) / x f (x * i) 多 组 询 问 \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | i, d | j m i n (i, j) φ (d) = \sum d = 1 m i n (n, m) φ (d) * (n / d) * (m / d)

$\begin{equation*} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j)\\ 单组询问，反向递推\\ f(x)表示gcd(i,j)==x的对数\\ f(x)=(n/x)*(m/x)-\sum_{i=1}^{min(n,m)/x} f(x*i)\\ 多组询问\\ \\ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d|i,d|j}^{min(i,j)}\varphi(d)\\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\varphi(d)*(n/d) *(m/d) \end{equation*}$

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+100;
typedef long long LL;
LL f[N];
int main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        LL ans=0;
        for(int i=min(a,b);i>=1;i--){
            LL cnt=(LL)(a/i)*(b/i);
            for(int j=i*2;j<=a&&j<=b;j+=i){
                cnt-=f[j];
            }
            f[i]=cnt;
            ans+=f[i]*(i*2-1);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+100;
typedef long long LL;
int pri[N],pn,vp[N];
LL phi[N];

void init(){
    memset(vp,0,sizeof(vp));
    int n=100000;
    pn=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vp[i]){
            pri[pn++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<pn;j++){
            if((LL)i*pri[j]>n)break;
            vp[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            }
            else {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
            }
        }
    }
    phi[0]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}

int main(){
    #ifdef DouBi
    freopen("in.cpp","r",stdin);
    #endif // DouBi
    int a,b;
    init();
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        int r=min(a,b);
        LL ans=0;
        while(r>0){
            //printf("%d ",r);
            int k1=a/r;
            int k2=b/r;
            int l1=a/(k1+1)+1;
            int l2=b/(k2+1)+1;
            int l=max(l1,l2);
            ans+=(LL)k1*k2*(phi[r]-phi[l-1]);
            //printf("%d %d %I64d\n",l,r,ans);
            r=l-1;
        }
        printf("%lld\n",ans*2-(LL)a*b);
    }
    return 0;
}