力扣LeetCode：221 最大正方形

题目:

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1

示例 3：

输入：matrix = [["0"]]
输出：0

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 300
• matrix[i][j] 为 '0' 或 '1'

解法：动态规划

问题分析

我们需要在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵中，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

• 正方形的面积由其边长决定，因此我们需要找到最大正方形的边长。

• 我们可以通过动态规划来记录以每个点为右下角的最大正方形的边长。

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动态规划思路

1. 定义状态

• 设 dp[i][j] 表示以 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。

• 如果 matrix[i][j] == '0'，则 dp[i][j] = 0，因为以 (i, j) 为右下角的正方形不存在。

• 如果 matrix[i][j] == '1'，则 dp[i][j] 的值取决于其上方、左方和左上方的值：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1

• 这是因为一个正方形的边长受限于其周围的最小值。

2. 初始化

• 如果 i == 0 或 j == 0，即第一行或第一列，dp[i][j] 的值直接等于 matrix[i][j] 的值（0 或 1）。

3. 状态转移

• 对于每个位置 (i, j)，如果 matrix[i][j] == '1'，则更新 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1;

4. 结果

• 在计算过程中，记录最大的 dp[i][j]，即最大正方形的边长。

• 最终返回最大正方形的面积，即 maxLen * maxLen。

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代码实现

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) {
            return 0;
        }

        int m = matrix.size();    // 行数
        int n = matrix[0].size(); // 列数
        int maxLen = 0;           // 记录最大正方形的边长

        // 定义 DP 数组
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

        // 初始化 DP 数组
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        // 第一行或第一列，最大边长只能是 1
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        // 状态转移方程
                        dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
                    }
                    // 更新最大边长
                    maxLen = max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }

        // 返回最大正方形的面积
        return maxLen * maxLen;
    }
};

代码解释

1. 边界检查：

   • 如果矩阵为空，直接返回 0。

2. 初始化 DP 数组：

   • dp[i][j] 表示以 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。

   • 如果 matrix[i][j] == '1' 且位于第一行或第一列，则 dp[i][j] = 1。

3. 状态转移：

   • 对于每个位置 (i, j)，如果 matrix[i][j] == '1'，则根据其上方、左方和左上方的值更新 dp[i][j]。

4. 更新最大边长：

   • 在计算过程中，记录最大的 dp[i][j]，即最大正方形的边长。

5. 返回结果：

   • 返回最大正方形的面积，即 maxLen * maxLen。

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复杂度

• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。我们需要遍历整个矩阵。

• 空间复杂度：O(m * n)，用于存储 DP 数组。可以通过滚动数组优化到 O(n)。