用数组实现堆(优先队列)

1、定义

堆是一种叫做完全二叉树的数据结构，

完全二叉树 ：除了最后一层之外，上面全部都是满的，最后一层也是从左往右排列的

2、性质

在小堆根中：每一个点都是小于等于左右两边的子节点的值

堆的存储：

一般情况都是将其存储在数组中的，而且一般以索引1为起点

因为数组的排序有个公式 ：

x的左节点 ： 2x

x的右节点 ： 2x+1

可以得到下面这个图

核心操作

堆的所有的操作都可以使用这两个操作来完成

down(x)

如果把一个值变大了，就要把他往下移

比如说在这个图中，将头节点的值改变为6，数值变大了，应该往下移动

从两个子节点和当前节点中 找到一个最小值，为3，然后进行交换，如下图

然后再跟三个节点中的最小值进行交换

up(x)

跟down相反，如果把一个值变小了，就要把他往上移

跟父节点进行比较，如果比父节点小，就进行交换

然后再将2和3进行比较

代码分析

定义

heap表示正整个堆 size表示当前堆的大小

1、插入一个数x

  //在堆的最底层插入一个数字x
  heap[ ++ size] = x;
  //然后将x不断上移
  up(size);

2、求集合当中的最小值

heap[1];

3、删除最小值

//先用最后一个点覆盖掉第一个点
heap[1] = heap[size];
//然后把最后一个点删除
size --;
//最后让1号点往下走
down(1);

4、删除任意一个元素k

跟删除最小值类似

heap[k] = heap[size];
size --;
//这里会出现三种情况， 
//1、要么数字比较大 需要进行down操作
//2、要么数字比较小  需要进行up操作
//3、要么数字刚好在这个位置  不需要进行操作
//三种情况只会出现一次，所以直接先进行down，在进行up操作
    down(k);up(k);//在这里虽然写了两个操作，但是实际只会执行一个操作

5、修改任意一个元素

    heap[k] = x;
//跟删除任意一个元素同理
    down(k);up(k);

6、代码中的down操作

如果想要进行daown操作 就要去看这个三角形上面的那个点是不是三个点中的最小值

int h[N];
int se;

void down(int u)
{
	//用t来表示三个点中的最小值
	int t = u;
	//判断是否有左儿子  u * 2 <= size
	//并且判断左儿子是否小于 h[t]
	//都满足 则将t 更换为左儿子
	if (u * 2 <= se && h[u * 2] <= h[t]) t = u * 2;

	//同理  判断右儿子
	if (u * 2 + 1 <= se && h[u * 2 + 1] <= h[t]) t = u * 2 + 1;

	//最终t表示的就是三个点中的最小点
	//如果t点不是父节点  交换节点
	if (u != t) 
	{
		swap(h[u],h[t]);
		down(t);
	}
}

7、代码中的down操作

void up(int u)
{
	while (u / 2 != 0 && h[u / 2] >= h[u])
	{
		swap(h[u/2],h[u]);
		u /= 2;
	}

}

8、如何去将数组变换成一个堆

	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
	se = n;
	//去将数组变换成一个堆
	for (int i = n / 2; i; i--) down(i);

题目：堆排序

输入一个长度为 𝑛 的整数数列，从小到大输出前 𝑚 小的数。

输入格式

第一行包含整数 𝑛 和 𝑚。

第二行包含 𝑛 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 𝑚 个整数，表示整数数列中前 𝑚 小的数。

数据范围

1<= m <= n <= 10^5

1<= 数列中的元素 <= 10^9

输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

代码

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N];
int se;//记录堆里面一共有几个值

void down(int u)
{
	//用t来表示三个点中的最小值
	int t = u;
	//判断是否有左儿子  u * 2 <= size
	//并且判断左儿子是否小于 h[t]
	//都满足 则将t 更换为左儿子
	if (u * 2 <= se && h[u * 2] <= h[t]) t = u * 2;

	//同理  判断右儿子
	if (u * 2 + 1 <= se && h[u * 2 + 1] <= h[t]) t = u * 2 + 1;

	//最终t表示的就是三个点中的最小点
	//如果t点不是父节点  交换节点
	if (u != t) 
	{
		swap(h[u],h[t]);
		down(t);
	}
}

void up(int u)
{
	while (u / 2 != 0 && h[u / 2] >= h[u])
	{
		swap(h[u/2],h[u]);
		u /= 2;
	}

}

int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
	se = n;
	//去将数组变换成一个堆
	for (int i = n / 2; i; i--) down(i);

	while (m--)
	{
		cout << h[1] << " ";
		h[1] = h[se];
		se--;
		down(1);
	}
	return 0;
}