【笔记】【电子科大 离散数学】 2.命题

数理逻辑

定义

使用数学的方法研究逻辑推理的规律

命题

数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位。

定义

具有确切真值的陈述句称为命题(proposition)。该命题可以取一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用“T”(或“1”)和“F”(或“0”)表示。

不是命题的例子

一切没有判断内容的句子都不是命题，比如命令句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句。

• 命令句：比如，“把门关上。” 这是一个请求或指令，没有真假之分。

• 疑问句：例如，“你今天怎么样？” 这是一个问题，它没有表明任何可以验证的事实。

• 二义性的陈述句，比如：“这个命题是假的（指当前这个命题）”。

  • 如果这是一个真命题，那么这个命题确实是假的，那么这个命题到底是真还是假？
  • 如果这是一个假命题，那么这个命题不是假命题而是真命题，跟上面一样产生了矛盾。

原子命题和复合命题

定义

• 原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题的命题。
• 复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果…则……”、“当且仅当”等这样的逻辑连词和标点符号复合而成。

约定

通常用大写的带或不带下标的英文字母表示命题（包括原子命题和复合命题），例如：

$$A,B,C,\dots ,P,Q,R,\dots ,A_1,B_1,C_1,\dots ,P_1,Q_i,R_i,\dots$$

命题联结词

否定联结词

定义

设 P 是任意一个命题，复合命题“非 P”(或“P 的否定”)称为 P 的否定式 (negation)，记作 ¬P，其中 ¬ 为否定联结词。P 为真当且仅当 ¬P 为假。

例子

• P: 四川是一个国家。
• ¬P: 四川不是一个国家。

否定式是自然语言中的“非”、“不”、“没有”等的逻辑抽象。

真值表

P	¬P
真(T)	假(F)
假(F)	真(T)

这个真值表表示的是，如果原命题 P 的真值为真（T），那么它的否定 ¬P 的真值为假（F），反之亦然。

合取联结词

定义

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题“P 并且 Q”(或“P 和 Q”)称为 P 与 Q 的合取式 (conjunction)，记作 P∧Q，其中 “∧” 为合取联结词。P∧Q 为真当且仅当 P，Q 同为真。

例子

• P: 3 是素数。
• Q: 3 是奇数。
• P∧Q: 3 既是素数又是奇数。

这展示了合取命题的性质：只有当所有单独的命题都为真时，合取命题才为真。

真值表

P	Q	P∧Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	假(F)
假(F)	假(F)	假(F)

这个真值表表示的是合取命题 P∧Q 只有在两个单个命题 P 和 Q 都为真的情况下才为真，如果其中任何一个为假，合取命题 P∧Q 就为假。

析取联结词

定义

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题 “P 或 Q” 称为 P 与 Q 的析取式 (disjunction)，记作 P∨Q，其中 “∨” 是析取联结词。P∨Q 为真当且仅当 P、Q 至少有一个为真。

例子

• P: 张谦是大学生。
• Q: 张谦是运动员。
• P∨Q: 张谦是大学生或是运动员。

这个例子说明了析取命题 P∨Q 的性质：只要 P 和 Q 中至少有一个命题为真，P∨Q 就为真。

蕴含联结词

定义

设 P、Q 是任两个命题，复合命题 “如果 P，则 Q” 称为 P 与 Q 的蕴涵式 (implication)，记作 P → Q，其中 “→” 是蕴涵联结词。P → Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。一般把蕴涵式 P → Q 中的 P 称为该蕴涵式的前件，Q 称为蕴涵式的后件。

例子

• P: 周末天气晴朗。
• Q: 我们将到郊外旅游。
• P → Q: 如果周末天气晴朗，则我们将到郊外旅游。

这个例子阐明了蕴涵式 P → Q 的性质：只在 P 为真且 Q 为假的情况下，P → Q 才为假。

真值表

P	Q	P → Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	真(T)
假(F)	假(F)	真(T)

这个真值表表示的是蕴涵式 P → Q 的真值条件。只有当 P 为真而 Q 为假时，P → Q 才为假。在其他所有情况下，P → Q 都为真。

当前件P为假，无论后件Q真假如何， P → Q都为真，这被称为善意推定。打个比方，我们将“罪证为假”设定为P，“犯人无罪”设定为Q，那么，“如果罪证为假，则犯人无罪”设定为P → Q，显然，即使P这个命题是假的，也不影响P → Q为真。

等价联结词

定义

设 P、Q 是任两个命题，复合命题 “P 当且仅当 Q” 称为 P 与 Q 的等价式 (equivalence)，记作 P ↔ Q，其中 “↔” 是等价联结词（也称作双条件联结词）。P ↔ Q 为真当且仅当 P、Q 同为真或者同为假。

例子

• P: 两个三角形全等。
• Q: 三角形的三条边全部相等。
• P ↔ Q: 两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等。

这个例子表明了等价命题 P ↔ Q 的性质：它只在 P 和 Q 同时为真或同时为假的情况下为真。

真值表

P	Q	P ↔ Q
真(T)	真(T)	真(T)
真(T)	假(F)	假(F)
假(F)	真(T)	假(F)
假(F)	假(F)	真(T)

此真值表描述了等价联结词 P ↔ Q 的逻辑行为：当 P 和 Q 都为真或都为假时，P ↔ Q 是真；当 P 和 Q 之一为真而另一为假时，P ↔ Q 是假。

命题符号化及其应用

速查表格

联结词	记号	复合命题	读法	记法	真值结果
否定	$\neg$	$\neg P$	非 P	P 的否定	-P 的真值为“真”当且仅当 P的真值为“假”
合取	$\wedge$	$P\wedge Q$	P 并且 Q	P 合取 Q	$P\wedge Q$ 的真值为“真"当且仅当 P、Q 的真值同为“真”
析取	$\vee$	$P\vee Q$	P 或者 Q	P 析取 Q	$P\vee Q$ 的真值为“真”当且仅当 P、Q 的真值至少一个为“真”
蕴涵	$\to$	$P\to Q$	若 P，则 Q	P 蕴涵 Q	$P\to Q$ 的真值为“假”当且仅当 P的真值为“真”、Q 的真值为“假”
等价	$\leftrightarrow$	$P\leftrightarrow Q$	当且仅当 Q	P 等价于 Q	$P\leftrightarrow Q$ 的真值为“真”当且仅当 P、Q 的真值同为“真”或同为“假”

注意：

• $\wedge$与$\vee$还有$\leftrightarrow$是有对称性的，而$\neg$和$\to$没有。

• 联结词是两个命题真值之间的联结，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。

优先级

所有五个联接词的优先顺序（数字越小越优先）为

1. 否定
2. 合取
3. 析取
4. 蕴涵
5. 等价

• 同级的联结词，按其出现的先后次序(从左到右)；

• 若运算要求与优先次序不一致时，可使用括号；

• 同级符号相邻时，也可使用括号。括号中的运算为最高优先级。

在大多数编程语言中，否定（表现为!或者not）、合取（&&或者and）、析取（||或者or），这一顺序同样适用。

复合命题符号化

假设有命题：

• P: 你陪伴我
• Q: 你代我叫车子
• R: 我将出去

下面是这些语句的符号化表示：

1. 如果你陪伴我并且代我叫辆车子，则我将出去。

   • 符号化为: $(P\wedge Q)\to R$

2. 如果你不陪伴我或不代我叫辆车子，我将不出去。

   • 符号化为: $(\neg P\vee \neg Q)\to \neg R$

3. 除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去。

   • 符号化为: $(\neg P\wedge \neg Q)\to \neg R$ 或者可以表示为 $\neg (P\vee Q)\to \neg R$，依据德摩根定律。如果不使用否定符号，还可以写$R\to (P\vee Q)$，也就是反过来。

布尔检索演示

1. 同时包含“量子物理”和“弦理论”

   • Google搜索框输入: 量子物理 AND 弦理论
   • 数学符号表达式: $量子物理\wedge 弦理论$

2. 包含“量子物理”但不包含“弦理论”

   • Google搜索框输入: 量子物理 -弦理论
   • 数学符号表达式: $量子物理\wedge \neg 弦理论$

3. 包含“量子物理”或“相对论”

   • Google搜索框输入: 量子物理 OR 相对论
   • 数学符号表达式: $量子物理\vee 相对论$

命题变元

一个特定的命题是一个常值命题，不是真就是假。

一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称为命题变量（命题变元），无具体真值。

当原子命题是命题变元，包含此原子命题的复合命题也即命题变元的函数，该函数称为真值函数或者命题公式。

如下是一个命题函数：
$$G=P\wedge Q\to \neg R$$

命题公式

命题演算的合式公式（well formed formula, wff），又称为命题公式，简称公式。

有三条规则生成合式公式：

1. 命题变元本身是一个公式。
2. G是公式，则$(\neg G)$也是公式
3. 如G、H是公式，$(G\wedge H)$是公式，诸如此类都是公式

由有限步使用上述三个规则后得到的符号串才是命题公式。

• 原子命题变元是最简单的合式公式，称为原子合式公式，简称原子公式。
• 命题公式没有真值，只有对命题变元进行真值指派后才可确定真值。
• 整个公式最外层括号可以省略，不影响运算次序的括号也可省略。
• 可以使用二元树的方式表达，如下图。

公式的解释

设$P_1,P_2,P_3...,P_n$是出现在公式$G$中的所有命题变元，指定$P_1,P_2,P_3...,P_n$的一组真值，这组真值称为$G$的一个解释，常记为$I$。

如果公式在解释$I$下为真，称$I$为$G$的成真赋值，为假则称为成假赋值。

真值表

一般来说，如果有$n$个命题变元，则有$2^n$个不同解释。

由公式$G$在其所有可能解释下所取真值构成的表，称为$G$的真值表。

真值表画法：

示例真值表：

命题公式的分类

1. 永真公式（重言式, tautology）：公式的所有解释下真值都为真。
2. 永假公式（矛盾式, contradiction）：公式的所有解释下真值都为假。
3. 可满足公式（satisfiable），在此公式不是永假公式的情况下，永真公式一定是可满足公式。

公式的逻辑等价

定义

对于两个命题公式$G,H$，如果它们的命题变元是$P_1,P_2,P_3...P_n$，那么对应的有$2^n$个解释，如果这些解释中，G和H的真值结果全都相同，则称G和H为等价的，记作$G=H$（或者$G\iff H$）。

定理

$G=H$的充分必要条件为：$G\leftrightarrow H$是永真公式。

可判定性：可完成对任意公式的判定类问题，命题公式是可判定的。（类型或等价判定）

命题公式的逻辑律、基本等价关系

有了这些逻辑律和等价关系，我们就可以进行巧妙地证明、化简、求解了。

可用于化简门电路、化简判断逻辑来进行优化性能。

幂等律 (Idempotent Laws)

• 逻辑与的幂等律：$G\wedge G\equiv G$
• 逻辑或的幂等律：$G\vee G\equiv G$

交换律 (Commutative Laws)

• 逻辑与的交换律：$G\wedge H\equiv H\wedge G$
• 逻辑或的交换律：$G\vee H\equiv H\vee G$

结合律 (Associative Laws)

• 逻辑与的结合律：$(G\wedge H)\wedge I\equiv G\wedge (H\wedge I)$
• 逻辑或的结合律：$(G\vee H)\vee I\equiv G\vee (H\vee I)$

同一律 (Identity Laws)

• 逻辑与的同一律：$G\wedge \text{True}\equiv G$
• 逻辑或的同一律：$G\vee \text{False}\equiv G$

零律 (Domination Laws)

• 逻辑与的零律：$G\wedge \text{False}\equiv \text{False}$
• 逻辑或的零律：$G\vee \text{True}\equiv \text{True}$

分配律 (Distributive Laws)

• 逻辑与对逻辑或的分配律：$G\wedge (H\vee I)\equiv (G\wedge H)\vee (G\wedge I)$
• 逻辑或对逻辑与的分配律：$G\vee (H\wedge I)\equiv (G\vee H)\wedge (G\vee I)$

吸收率 (Absorption Laws)

• 逻辑与的吸收率：$G\wedge (G\vee H)\equiv G$
• 逻辑或的吸收率：$G\vee (G\wedge H)\equiv G$

矛盾律 (Contradiction Law)

• $G\wedge \neg G\equiv \text{False}$

排中律 (Law of Excluded Middle)

• $G\vee \neg G\equiv \text{True}$

双重否定律 (Double Negation Law)

• $\neg (\neg G)\equiv G$

德摩根律 (De Morgan’s Laws)

• $\neg (G\wedge H)\equiv \neg G\vee \neg H$
• $\neg (G\vee H)\equiv \neg G\wedge \neg H$

蕴含式 (Implication)

• $G\to H\equiv \neg G\vee H$

假言易位 (Contrapositive)

• $(G\to H)\equiv (\neg H\to \neg G)$

等价式 (Equivalence)

• $(G\leftrightarrow H)\equiv (G\to H)\wedge (H\to G)$

等价否定式 (Negation of Equivalence)

• $(G\leftrightarrow H)\equiv \neg G\leftrightarrow \neg H$

归谬论 (Reductio ad absurdum)

• $(\neg G\to \text{False})\to G$

范式 (Normal Form)

• 有限个简单合取式（短语）的析取称为析取范式（disjunctive normal form）。
• 有限个简单析取式（子句）的合取成为合取范式（conjunctive normal form）。

文字 (Literal)

命题变元和命题变元的否定都是文字。

例如，在表达式 $(p\vee \neg q)$ 中，$p$ 和 $\neg q$ 都是文字。

子句 (Clause)

有限个文字的析取成为简单析取式（或子句）。

短语 (Phrase)

有限个文字的合取成为简单合取式（或短语）。

主范式

由于范式的不唯一性，我们对构成范式的子句或者短语进行规范化，形成唯一的主析取范式和主合取范式。

极小项和极大项

在含有n个命题变元$P_1,P_2,P_3...,P_n$的短语或子句中，若每个命题变元与其否定不同时存在，但是二者之一恰好出现一次且仅一次，并且出现次序与$P_1,P_2,P_3...,P_n$一致，则称词短语或者子句为关于$P_1,P_2,P_3...,P_n$的一个极小项或极大项。

极小项

极大项

$$m_i\wedge m_j=0i\ne j$$
$$M_i\vee M_j=1i\ne j$$

主范式的定义

• 主析取范式：若每一个短语都是极小项，且按照编码从小到大顺序排列，则称该范式为主析取范式。

• 主合取范式：若每一个子句都是极大项，且按照编码从小到大的顺序排列，则称该范式为主合取范式。

• 如果主析取范式包含所有的极小项，则该公式为永真公式。

• 如果主合取范式包含所有的极大项，则该公式为永假公式。

• 若两个公式具有相同的主析取范式或主合取范式，则两公式等价。

命题蕴含公式

推理

所谓推理，是指从一组前提合乎逻辑的推出结论的思维过程。在这里，我们使用命题公式来表达前提和结论。

推理的定义

设$G_1,G_2,G_3...,G_n,H$是公式，称H是$G_1,G_2,G_3...,G_n$的逻辑结果当且仅当对对任意解释$\underline{I}$，如果$I$使得$\underline{G_1\wedge G_2\wedge G_3\wedge ...\wedge G_n}$为真，则$I$也会使$H$为真。

记为$G_1,G_2,G_3...,G_n⟹H$。"$⟹$"称为蕴含关系。此时称$G_1,G_2,G_3...,G_n⟹H$是有效的，否则称为无效的。

$G_1,G_2,G_3...,G_n$作为一组前提，有时用集合$\Gamma$来表示，记为 Γ = { G 1 , G 2 , . . . G n } \varGamma = \{G_1, G_2, ... G_n\} Γ={G1​,G2​,...Gn​}，$H$称为结论。此时也称$H$是前提集合$\Gamma$的逻辑结果。$\Gamma ⟹H$。

定理

公式$H$是前提集合 Γ = { G 1 , G 2 , . . . G n } \varGamma = \{G_1, G_2, ... G_n\} Γ={G1​,G2​,...Gn​}的逻辑结果当且仅当$(G_1\wedge G_2\wedge G_3\wedge ...\wedge G_n)\to H$是永真公式。

基本蕴含关系

设$G,H,I$为任意的命题公式。

• $I_1:G\wedge H⟹G$; $I_2:G\wedge H⟹H$ (简化规则)
• $I_3:G⟹G\vee H$; $I_4:H⟹G\vee H$ (添加规则)
• $I_5:G,H⟹G\wedge H$ (合理引入规则)
• $I_6:G\vee H,\neg G⟹H$; $I_7:G\vee H,\neg H⟹G$ (选言三段论)
• $I_8:G\to H,G⟹H$(假言推理规则)
• $I_9:G\to H,\neg H⟹\neg G$(否定后件式)
• $I_{1}0:G\to H,H\to I⟹G\to I$(假言三段论)
• $I_{1}1:G\vee H,G\to I,H\to I⟹I$(二难推论)

例子：

• 如果a是偶数，则a能被2整除; a是偶数。所以a能被2整除。
  可描述为：$P\to Q,P⟹Q$
• 如果一个人是单身汉，则他不幸福；如果一个人不幸福，则他死的早。所以，单身汉死的早。
  可描述为：$P\to Q,Q\to R⟹P\to R$
• 若你发电子邮件告诉我密码，则我将完成程序的编写；我没有完成程序的编写。所以，你没有发电子邮件告诉我密码。
  可描述为：$P\to Q,\neg Q⟹\neg P$
• 这个案件的凶手肯定是王某或陈某；经过调查，王某不是凶手，则陈某是凶手。
  可描述为：$P\vee Q,\neg P⟹Q$

演绎法推理

证明类问题框架：

1. 已知条件1, 2, 3…（类比为前提）
2. 证明某个断言（类比为结论）成立

推理规则

规则P（称为前提引用规则）：推导的过程中，可随时引入前提集合中的任意一个前提。

规则T（称为逻辑结果引用规则）：推导的过程中，可随时引入公式$S$，该公式$S$是由其前的一个或者多个公式推导出来的逻辑结果。

规则CP（称为附加前提规则）：如果能从给定的前提集合$\Gamma$与公式$P$推导出$S$，则能从此前提集合$\Gamma$推导出$P\to S$

关于规则CP：

• 原理：$P\to (Q\to R)=(P\wedge Q)\to R$
• 使用场合：当结论是蕴含式或析取式时使用。

演绎法推理

所有命题逻辑的定理都可以用三个推理规则加上全部基本等价公式和基本蕴含公式证明出来。

定义

从前提集合$\Gamma$推出结论$H$的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列：
$$H_1,H_2,H_3,...H_{n-1},H_n$$

其中，$H_i$或者是$\Gamma$中的某个前提，或者是前面的某些$H_j(j<i)$的有效结论，并且$H_n$就是$H$，则称公式$H$为该演绎的有效结论，或者称从前提$\Gamma$能够演绎出结论$H$来。

直接证明法

直接通过已有的前提推理出来。

例子：

规则CP证明法

根据规则CP，R是可以直接作为附加前提视为真的。（个人见解是：如果前件是假，就无需证明蕴含式了，因为无论后件真假，整个蕴含式都为真）

例子

间接证明法（反证法，归谬法）

反证法，本身就是规则CP的一种变型。

1. 要证明：$G_1,G_2...,G_n⟹H$

2. 根据判定定理：$(G_1\wedge G_2\wedge ...\wedge G_n)\to H$为永真公式

3. 即：$G_1\wedge G_2\wedge ...\wedge G_n\wedge \neg H$是矛盾式

4. 因此：$G_1\wedge G_2\wedge ...\wedge G_n\wedge \neg H⟹R\wedge \neg R$

简单来说，就是先对要证明的结论$H$取反成$\neg H$作为附加前提，然后推理出一个矛盾式，推理成功则可证明。

例子：