整数划分——完全背包的变形

一、题目

二、思路分析

这道题这么看的话还是比较抽象的，但是我们可以将其看作一个完全背包问题，$n$代表的是背包容量，后面的数字组成看作物品的体积，由于这些数字可以重复的使用，所以这道题类似于完全背包，但是在状态表示上还是有点区别的。

1、状态转移方程

（1）状态表示

$f(i,j)$：用体积范围[1,i]的物品，去恰好填满一个背包容量为j的书包,满足该要求的方案总数。
完全背包问题是在众多的方案中求一个最大值，而今天的这个问题是求一个总数。

（2）方程书写

这里就不过多的解释了，大家可以去看一看作者写的完全背包问题：

传送门：完全背包的详解与优化

$$f[i][j]=sum(f[i-1][j-ki])(j\ge ki)$$

2、循环与初始化

（1）循环

循环设计的话，我们和背包问题保持一致。

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            for(int k=0;k*i<=j;k++)
            {
                f[i][j]=(f[i][j]%mod+f[i-1][j-k*i]%mod)%mod;
            }
        }
    }

（2）初始化

初始化的子问题是我们的最小子问题，找到最小子问题的方法就是将我们循环中的边界带进去。

比如这道题，我们的最小子问题就是当$i=0$或者$j=0$的时候，等式右边的值。

$f[1][0]=f[0][0]+f[1][0]$

$f[0][0]$和$f[i][0]$

就是我们要求的子问题，$f[0][0]$表示用体积为0的物品装满容量为0的背包，很显然就1种方案。

而$f[i][0]$是指用体积范围1到i的东西装满背包容量为0的物品，很显然这是不合法的，初始化为0。

三、代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+10,mod=1e9+7;
int f[N][N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            for(int k=0;k*i<=j;k++)
            {
                f[i][j]=(f[i][j]%mod+f[i-1][j-k*i]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n]<<endl;
}

当然，我们可以使用优化后的方案：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+10,mod=1e9+7;
int f[N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            f[j]=(f[j]%mod+f[j-i]%mod)%mod;
        }
    }
    cout<<f[n]<<endl;
}

优化的思路在完全背包中有详细地讲解。