离散数学下篇知识点（二）

目录

1.代数结构

2.群

3.图

4.欧拉图和哈密顿图

5.树

6.平面图

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上篇在这：

离散数学下篇知识点（一）-优快云博客

1.代数结构

对于任意x，y属于自然数集都能进行加法运算，并且运算结果唯一。运算的结果也属于自然数集，所以这个运算是自然数集上的二元运算。

下面这个运算，运算结果也唯一，但是两个自然数相减，最后得到的结果可能是一个负数，而负数不属于自然数，所以这个运算不是自然数集上的二元运算。

左幺元：左幺元*x=x，所以将每一行与列元素比较，如果相同就是左幺元。所以下图中，a是左幺元。

右幺元：x*右幺元=x，所以以列为单位，判断每一列是否和行元素相同，所以下图，a是右幺元。

所以a是幺元。

左零元：左零元*x=左零元，如下图第一行元素a，b，c。只有a与行相同，下面两列同理，所以a,b,c都不是左零元，所以都不是零元。

逆元：b*a=幺元a    a*b=幺元a。

所以：

第二幅图同理：

2.群

代数系统：

非空集合S和S上k个一元或者二元运算组成的系统，如<N,+>(自然数集上的加法运算)，<Z,+,x>(整数集上的加法运算和乘法运算)

二元运算上面已经讲过，就是结果唯一，并且结果在集合中。

广群，半群，独异点：

半群也可以理解为：① 代数系统 ② 二元运算是封闭的 ③ 二元运算是可结合的

独异点：① 代数系统 ② 二元运算是封闭的 ③ 二元运算是可结合的 ④ 有幺元

若独异点中∀x∈S，存在它的逆元，则称<S,x>是一个群。

证明代数系统是群，即要证明：

为什么幺元是1/8：

左幺元*x=x，对应到，即b=8ab，a=1/8。同理右幺元=1/8。

a，b运算结果为1/8，所以对于集合的任意元素a，都存在逆元。

3.图

对于图，树，如果想学习得更加细致些，可以搜索数据结构的图，树两章进行学习。

任何图中，奇度顶点的个数是偶数：

度数之和 = 奇度顶点的度数之和 + 偶度顶点的度数之和

偶度顶点表示这个顶点的度数为偶数，不管都度顶点有几个，其和一定为偶数。度数之和为边数的2倍，一定为偶数，所以奇度顶点的度数之和为偶数。

4.欧拉图和哈密顿图

注：以上问题就是数据结构中的Dijkstra问题，如果不懂可以搜索Dijkstra更加细致的看一下。

5.树

6.平面图

在第1个图中，将上面3个顶点看作v1，下面3个顶点看作v2。图中每一条边的两个顶点都是一个属于上面一个属于下面，所以第1个图是一个二部图。但是不满足v1的每个顶点都与v2的每个顶点相邻，所以其不是完全二部图。第2个就是完全二部图。

、

注：K1表示顶点为1的完全图（一个图有n个顶点，那么如果任意两个顶点之间都有边的话，该图就称为完全图），K2表示顶点为2的完全图，以此类推。

如下图，K4如果将一边往外拉，可以使得没有边相交，所以K4是平面图

例如，三角形能够将两个平面划分为三角形内部和外部，所以三角形有两个面，边界长度为3（3条边），面的次数为3。

更加细致地学习，可以看看：《离散数学》知识点详解：平面图II（k33和k5）_哔哩哔哩_bilibili

A,B项是K5和，是极小非平面图。C项是B项删除1条边，所以C项是平面图。对于D：

无论怎么拉都有边相交，所以D不是平面图。

再举个例子：

第1个图可以拉伸为第2个图，即无边相交，所以这个图是平面图。

注：区域面积无限的面称为无限面。无限面只有一个。

因为平面图所有面的次数之和等于边数的两倍：

面数之和为r，无限面占1，其余面占r-1，所以有：所有面的次数=5+3(r-1)

5+3(r-1)=2m