Canny边缘检测算法：从数学推导到工程实现全解析

一、算法演进与核心思想

1.1 边缘检测的意义

边缘是图像中灰度发生剧烈变化的区域边界，承载着物体形状、纹理等重要信息。在计算机视觉领域，精确的边缘检测是目标识别、三维重建等任务的基础。

1.2 Canny算法三大准则

• 低错误率：最小化漏检和误检
• 高定位精度：检测到的边缘应接近真实边缘
• 单响应：单个边缘只产生一个响应

二、数学基础深入剖析

2.1 高斯滤波数学推导

二维高斯函数定义：

$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}}$$

离散化处理（5x5核示例）：

1	4	6	4	1
4	16	24	16	4
6	24	36	24	6
4	16	24	16	4
1	4	6	4	1

归一化系数：1/256

参数选择原则：

• σ越大，平滑效果越强
• 核尺寸通常取6σ+1的奇数值

2.2 梯度计算原理

图像函数I(x,y)的梯度向量：

$$\nabla I=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial I}{\partial x}\\ \frac{\partial I}{\partial y}\end{array}\right]$$

梯度幅值：

$$|\nabla I|=\sqrt{(\frac{\partial I}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial I}{\partial y}{)}^2}$$

梯度方向：

$$\theta =\arctan (\frac{\partial I/\partial y}{\partial I/\partial x})$$

2.3 非极大值抑制数学本质

设当前像素梯度方向为θ，需比较沿梯度方向的两个相邻像素

插值计算相邻点梯度值：

$$\{\begin{array}{l}{d}_{temp1}=(1-\tan \theta \end{array}$$