RSA加密算法C++实现：大数运算与蒙哥马利模乘优化

最新推荐文章于 2025-04-02 20:52:43 发布

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分类专栏： c或c++实现算法文章标签： c++ windows java

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_69882801/article/details/145767821

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一、RSA算法原理深入解析

1.1 数学基础与密钥生成证明

RSA的安全性建立在大整数分解难题上。我们从数论基础展开：

定理1（费马小定理扩展）
若p为素数且a与p互质，则：
$a^{p-1} ≡ 1 \mod p$
证明：
通过数学归纳法可证，当a=1时显然成立。假设对k成立，则：
$k+1)^p ≡ k^p + 1 ≡ k + 1 \mod p$ （二项式展开中除首尾项外系数均为p的倍数）

定理2（中国剩余定理）
解密时可利用CRT加速：
设密文c ≡ m^e mod n，n=pq，则：
m ≡ c^d mod p
m ≡ c^d mod q
通过CRT合并结果得到原始明文

密钥生成公式推导：

选择两个大素数p和q，计算n = p*q
计算欧拉函数φ(n) = (p-1)(q-1)
选择e满足1 < e < φ(n)且gcd(e, φ(n)) = 1
计算d ≡ e⁻¹ mod φ(n)（扩展欧几里得算法）

二、大数运算实现细节

2.1 内存存储优化

class BigInteger {
   
private:
    // 使用uint32_t数组，每个元素存储32位数据
    std::vector<uint32_t> digits; 
    
    // 符号位优化：实际存储绝对值，单独记录符号
    bool is_negative = false;  
    
    // 内存预分配策略：预留20%空间减少扩容开销
    void reserve(size_t n) {
   
        if (capacity() < n) 
            digits.resize(n + n/5); 
    }
};

2.2 基础运算实现

乘法优化（Karatsuba算法）：

BigInteger karatsuba_mul(const BigInteger& a, const BigInteger& b) {
   
    size_t n = std::max(a.digits.size(), b.digits.size());
    if (n <= 32) {
    // 小规模直接计算
        return schoolbook_mul(a, b);
    }

    size_t m = n / 2;
    auto [a1, a0] = split(a, m);
    auto [b1, b0] = split(b, m);
    
    BigInteger z0 = karatsuba_mul(a0, b0);
    BigInteger z2 = karatsuba_mul(a1, b1);
    BigInteger z1 = karatsuba_mul(a0+a1, b0+b1) - z0 - z2;

    return z2.shift_left(2*m) + z1.shift_left(m) + z0;
}

快速除法实现（Newton-Raphson法）：

BigInteger reciprocal_approx(const BigInteger& x, int precision) {
   
    BigInteger a = 1 / x.digits.back(); // 初始近似
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
   
        a = a * (2 - x * a);
        a.truncate(precision);
    }
    return a;
}

三、蒙哥马利模乘深度优化

3.1 数学原理推导

设模数N为奇数，选择R=2^s > N。定义蒙哥马利约减函数REDC(T)：

$RE D C (T) = (T + m N) / R$
其中m = (T mod R) * N⁻¹ mod R

正确性证明：
需保证：

T + mN ≡ 0 mod R → 确保除法无余数
REDC(T) ≡ TR⁻¹ mod N

通过选择R为2的幂次，可以用位运算快速计算。

3.2 完整实现代码

class Montgomery {
   
private:
    uint64_t mod;    // 模数N
    uint64_t inv;    // N^{-1} mod R
    uint64_t r2;     // R^2 mod N
    uint64_t r_mask; // R-1

public:
    Montgomery(uint64_t n) : mod(n) {
   
        inv = 1;
        for (int i = 0; i < 6; ++i) // 计算inv = N^{-1} mod 2^64
            inv *= 2 - n *

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