数值分析笔记整理（二）

数值分析笔记整理（二）

第六章解线性方程组的迭代法

1、雅可比迭代法

做题步骤

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$$

• 确定系数矩阵A,对角矩阵D,下三角矩阵L，上三角矩阵U
• 由 $$A=D+L+U$$ 变形得到 $$\overrightarrow{x}=D^{-1}(L+U)+D^{-1}\overrightarrow{b}$$

$$B_J=D^{-1}(L+U)$$

$$C=D^{-1}\overrightarrow{b}$$

• 注意不管是雅可比还是高斯赛德尔迭代法L与U都要乘以-1再带入计算

• 根据迭代矩阵写出迭代方程

$$B_J=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{(k+1)}=a_{12}{x}_2^{(k)}+a_{13}{x}_3^{(k)}+b_1\\ x_2^{(k+1)}=a_{21}{x}_1^{(k)}+a_{23}{x}_3^{(k)}+b_2\\ x_3^{(k+1)}=a_{31}{x}_1^{(k)}+a_{32}{x}_2^{(k)}+b_3\end{array}$$

• 一般取$$x^{(0)}=(1,1,1,\cdots {)}^T$$为初始值开始迭代

• 迭代精度要求：

一般采用无穷范数$$||x^{(k+1)}-x^{(k)}|{|}_{\infty }<10^{-n}$$

2、高斯塞德尔迭代法

做题步骤

• 同样列出系数矩阵A,对角矩阵D（此时对角阵D为单位矩阵）,下三角矩阵L，上三角矩阵U

• $$B_s=(D-L{)}^{-1}U$$

• 迭代步骤与雅可比相同

3、两种迭代方法的收敛性

• 若系数矩阵A是严格对角占优，则雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法均收敛

**严格对角占优：**所有对角线元素大于这一行其他元素绝对值之和

• 一般采用谱半径 $$\rho$$ 来判断迭代是否收敛

$$\rho =|{\lambda }_{max}|$$ (为矩阵特征值的最大值的绝对值)

若 $$\rho <1$$ 则收敛，否则发散

第七章非线性方程组的数值解法

1、二分法求根

做题步骤

例：二分法求方程$$x^2-x-1=0$$的正根，要求误差小于0.05

• 确定初始有根区间

设 $$f(x)=x^2-x-1$$ $$f(0)=-1<0$$ $$f(2)=1>0$$

故在区间[0,2]上f(x)有根

• 确定二分次数k（k=1,2……）

$$\frac{b_0-a_0}{2^{k+1}}<0.05$$ 解出k即为二分次数

• 列表求解

k	$$a_k$$	$$b_k$$	$$x_k$$	$$f(x_k)$$
0	1.5	2	1.75	+
1	1.5	1.75	1.625	+
2	1.5	1.625	1.5625	-
3	1.5625	1.625	1.59375	-

• 注意：表格更新方式为若$$f(x_k)$$ 为正，则此时$$x_k$$更新到$$b_{k+1}$$，若$$f(x_k)$$ 为负，则此时$$x_k$$更新到$$a_{k+1}$$
• 此时$$x^{\ast }\approx x_3=1.59375$$

可以用$$\frac{b_k-a_k}{2}<0.05$$来进行验证

2、牛顿法求根

做题步骤

• 根据题目列出以下参数

$$x_0;f(x);f^{\prime }(x)$$

• 列出迭代公式：

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}k=0,1,2\cdots$$

• 开始迭代
• 计算迭代精度(题中一般要求保留n+1位有效数字)

$$|x_k-x^{\ast }|<\frac{1}{2}\ast 10^{-n}$$

• 求出最终解

3、弦截法求根

• 根据题目列出以下参数

$$x_0{x}_1$$

• 列出迭代公式：

$$x_{k+1}=x_k-\frac{(x_k-x_{k-1})(f(x_k))}{f(x_k)-f(x_{k-1})}k=1,2\cdots$$

• 与其他求根方法一样根据精度找出最优解

第九章常微分方程初值问题数值解法

• 常微分方程一般形式
  $$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}$$

• 显式欧拉：
  $$y_n+1=y_n+hf(x_n,y_n)$$

• 隐式欧拉：

$$y_n+1=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$$

• 梯形公式

$$y_n+1=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]$$

• 欧拉公式

$$\{\begin{array}{l}{\bar{y}}_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)\\ y_n+1=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},{\bar{y}}_{n+1})]\end{array}$$