数值分析笔记整理

数值分析笔记整理(上)

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第一章 计算误差评估算法稳定性

1、计算误差限

做题步骤：

• 求初值误差限$$|{\epsilon }_0|$$
• 用题中所给条件推出n=1,2,3……的误差限，直到找到规律
• 用误差限通项公式求得目标项误差限

2、有效数字

$$|x^{\ast }-x|\le {\epsilon }^{\ast }$$

$$|x^{\ast }-x|\le {\frac{1}{2}}^{m-n+1}$$

• 这里m是将数值变成标准形式（x.xxxx）小数点移动的位数，右移为负，左移为正，n为数值的有效数字
• 例：0.314 化为标准形式，小数点需右移一位，m=-1；有效数字为3位，n=3; 此时m-n+1=-3 ; $$|0.314-x|\le \frac{1}{2}\ast 10^{-3}$$

3、评估算法稳定性

• 首先正推计算误差限

卷面要体现如$$|E_n|=|y_n^{\ast }-y_n|=a|E_N|=\cdots =a^n|E_n|$$

• $$\{\begin{array}{l}a<1误差减小；算法稳定\\ a>1误差增大；算法不稳定\end{array}$$

• 若算法不稳定，选取一个较大的N，逆推回第一项

第二章插值法

1、拉格朗日插值法

• 拉格朗日插值基函数

  $$l_{k(x)}=\frac{(x-x_0)\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_n))}{(x_k-x_0)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_n)}(k=0,1,2,3\cdots n)$$

  题中给出几个点，就有几个插值基函数

• 插值多项式

$$L_{n(X)}=\sum _{k=0}^n{y}_k\ast l_{k(x)}$$

2、牛顿插值法

• 差商

  一阶差商：$$f[x_i,x_j]=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$$

  二阶差商：$$f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_i,x_j]-f[x_j,x_k]}{x_i-x_k}$$ $$\frac{前两项-后两项}{头-尾}$$

​ 三阶差商：$$f[x_i,x_j,x_k,x_m]=\frac{f[x_i,x_j,x_k]-f[x_j,x_k,x_m]}{x_i-x_m}$$ $$\frac{前三项-后三项}{头-尾}$$

• 插值多项式

$$N_{(X)}=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n](x-x_0)\cdots (x-x_{n-1})$$

• 绘制差商表

$$x_i$$	$$f(x_i)$$	一阶差商	二阶差商	三阶差商	$$\cdots$$	n阶差商
$$x_0$$	$$f(x_0)$$
$$x_1$$	$$f(x_1)$$	$$a_1$$
$$x_2$$	$$f(x_2)$$	$$a_2$$	$$b_1$$
$$⋮$$	$$⋮$$	$$⋮$$	$$⋮$$	$$⋮$$	$$⋮$$
$$x_n$$	$$f(x_n)$$	$$a_n$$	$$b_n$$	$$c_n$$

• 快速计算差商（列表计算）

一阶差商：$$a_1=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$$

二阶差商：$$b_1=\frac{a_1-a_2}{x_0-x_1}$$

三阶差商：$$a_1=\frac{b_1-b_2}{x_0-x_1}$$

第三章函数逼近

1、最佳平方逼近

做题步骤

• 一般题中会给出f(x);要求f(x)在某一区间上$$\rho (x)=1,\Psi =span\left\{\begin{array}{ccc}1& x& x^2\cdots \end{array}\right\}$$ ,要求最佳平方逼近多项式
• 根据$$\Psi =span\left\{\begin{array}{ccc}1& x& x^2\cdots \end{array}\right\}$$设出$${\varphi }_0=1,{\varphi }_1=x,{\varphi }_2=x^2\cdots$$
• 求法方程元素:

$$({\varphi }_0,{\varphi }_0)={\int }_a^b{x}^{0+0}dx$$

$$({\varphi }_i,{\varphi }_j)={\int }_a^b{x}^{i+j}dx$$

$$(f,{\varphi }_i)={\int }_a^{b}f(x)x^{i}dx$$

• 列法方程（矩阵形式）

$$\left[\begin{array}{ccc}({\varphi }_0,{\varphi }_0)& ({\varphi }_0,{\varphi }_1)& ({\varphi }_0,{\varphi }_2)\\ ({\varphi }_1,{\varphi }_0)& ({\varphi }_1,{\varphi }_1)& ({\varphi }_1,{\varphi }_2)\\ ({\varphi }_2,{\varphi }_0)& ({\varphi }_2,{\varphi }_1)& ({\varphi }_2,{\varphi }_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(f,{\varphi }_0)\\ (f,{\varphi }_1)\\ (f,{\varphi }_2)\end{array}\right]$$

• 解方程得$$a_0,a_1,a_2$$得到多项式$$s^{\ast }=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$

2、勒让德多项式

• 若题中要求[-1,1]区间则可以用勒让德多项式求解
• 记住勒让德多项式前三项

$$P_0=1;P_1=x;P_2=\frac{3x^2-1}{2};P_3=\frac{x(5x^2-3)}{2}$$

$$(f,P_0)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

$$(f,P_1)={\int }_a^{b}f(x)xdx$$

$$(f,P_2)={\int }_a^{b}f(x)\frac{3x^2-1}{2}dx$$

$$(f,P_3)={\int }_a^{b}f(x)\frac{x(5x^2-3)}{2}dx$$

• 求出$$a_n^{\ast }=\frac{2n+1}{2}{\int }_a^{b}f(x)P_n(x)dx$$

得$$a_0^{\ast },a_1^{\ast },a_2^{\ast }$$得到多项式$$s^{\ast }=a_2^{\ast }{x}^2+a_1^{\ast }x+a_0^{\ast }$$

本章会考一个反三角函数的分部积分法

$$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$$(arccos{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(arccos{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

$${\int }_a^{b}arctanxdx=xarctanx{|}_a^b-\frac{1}{2}ln(1+x^2){|}_a^b$$

$${\int }_a^{b}arcsinxdx=xarcsinx{|}_a^b+\sqrt{1-x^2}{|}_a^b$$

$${\int }_a^{b}arccosxdx=xarccosx{|}_a^b-\sqrt{1-x^2}{|}_a^b$$

第四章 数值积分与数值微分

1、 依据求积公式求代数精度与待定参数

• 代数精度：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度

做题步骤

• 若求积公式中存在n个未知参数，则直接将$$f(x)=1;x;x^2\cdots x^n$$分别带入公式中，令两端相等求得未知参数
• 若求积公式中无未知参数，则将$$f(x)=1;x;x^2\cdots x^n$$分别带入求积公式，验证两端是否相等
• 若在第k次公式左边≠右边，则该求积公式具有k-1次代数精度

2、（复合）梯形公式与（复合）辛普森公式

• 梯形公式

$$T_n\approx \frac{h}{2}[f(a)+f(b)]$$ $$h=\frac{b-a}{n}$$

• 辛普森公式

$$S_n\approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{b-a}{2})+f(b)]$$

• 复合梯形公式

$$T_n\approx \frac{h}{2}[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$$ $$h=\frac{b-a}{n}$$

• 复合辛普森公式

$$S_n\approx \frac{h}{2}[f(a)+4\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$$ $$h=\frac{b-a}{n}$$

• 复合梯形公式余项

$$|R(f)|=\frac{b-a}{12}{h}^2\underset{a\le x\le b}{\max }|f(x{)}^{\prime \prime }|$$

• 复合辛普森公式余项

$$|R(f)|=\frac{b-a}{2880}{h}^4\underset{a\le x\le b}{\max }|f(x{)}^{(4)}|$$

3、做题技巧

• 开始可以直接根据题目列出$$h$$ ;$$f(x)$$ ;$$x_k=hk$$ ; $$x_{k+\frac{h}{2}}=x_k+\frac{h}{2}$$

• 按步长h列表

• 对应求和，带入公式求解

• 最后根据对应余项算截断误差

第五章求解线性方程组的直接方法

1、高斯消去法

• 消元法求解矩阵方程，写出消元过程

2、直接三角法分解（杜利特尔Doolittle分解）求线性方程

• 将系数矩阵A分解成上、下三角矩阵 A=LU

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ l_{21}& 1& 0\\ l_{31}& l_{32}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ 0& u_{22}& u_{23}\\ 0& 0& u_{33}\end{array}\right]$$

解出$$l_{ij}与u_{ij}$$

• 解方程$$\{\begin{array}{l}Ly=b\\ Ux=y\end{array}$$求出x

2、追赶法求解三对角方程组

• 例：

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0& 0\\ 0& -1& 2& -1& 0\\ 0& 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right]$$

• 分解$$A=LU=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ p_1& 1& 0& 0& 0\\ 0& p_2& 1& 0& 0\\ 0& 0& p_3& 1& 0\\ 0& 0& 0& p_4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}{q}_1& c_1& 0& 0& 0\\ 0& q_2& c_2& 0& 0\\ 0& 0& q_3& c_3& 0\\ 0& 0& 0& q_4& c_4\\ 0& 0& 0& 0& q_5\end{array}\right]$$ 其中c已知常数，为原矩阵对应位置元素

• 将LU组合一下

$$\left[\begin{array}{ccccc}{q}_1& c_1& 0& 0& 0\\ p_1& q_2& c_2& 0& 0\\ 0& p_2& q_3& c_3& 0\\ 0& 0& p_3& q_4& c_4\\ 0& 0& 0& p_4& q_5\end{array}\right]$$

• 求解公式 $$\{\begin{array}{l}{q}_1=a_1\\ p_i=\frac{a_i}{q_{i-1}}\\ q_i=a_i-p_i{c}_{i-1}\end{array}$$
• 快捷记忆法： $$\{\begin{array}{l}{q}_1=a_1\\ 我=\frac{原我}{现上}\\ 我=原我-现左\ast 现上\end{array}$$
• 求得p,q,c,还原LU，解出方程组

3、（改进）平方根法求解线性方程组

平方根法：$$A=L{L}^T$$

$$\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{原我}& & \\ \frac{原我}{最上}& \sqrt{原我-现左\ast 现上}& \\ \frac{原我}{最上}& \frac{原我-现左\ast 最上}{现上}& \sqrt{原我-现最左\ast 现最上-现左\ast 现上}\end{array}\right]$$

改进平方根法：$$A=LD{L}^T$$

$$\left[\begin{array}{ccc}原我& & \\ \frac{原我}{现上}& 原我-现左\ast 现上\ast 相交& \\ \frac{原我}{最上}& \frac{原我-现左\ast 最上\ast 相交}{现上}& \sqrt{原我-现最左\ast 现最上\ast 相交-现左\ast 现上\ast 相交}\end{array}\right]$$