[C++]洛谷 滑雪 dfs+记忆化搜索详解

[原题]

[输入样例]

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

[输出样例]

25

[解题思路]

给出一个m*n的矩阵grid，每一格代表一个高度，要求我们找到一条路径，满足高度严格递减且长度最长。显然，对于这种问题，我们可以枚举起点，并通过dfs来得到最长的路径。

对于dfs的过程也很好理解：向上下左右四个方向搜索，若下一格的高度小于本格，则继续搜索且长度++，直到找出最长的路径。

但是，以题目给出的这个样例为例，假如我们使用上述方法会出现一个巨大的漏洞（此处以(i,j)表示grid[i][j]的单元格）：

假如我们从(0,0)开始搜索，由于四周没有比1小的数，搜索直接结束。

接下来，我们从(0,1)开始搜素，搜索路径为(0,1)->(0,0)，共调用两层递归。

接下来，我们从(0,2)开始搜索，搜索路径为(0,2)->(0,1)->(0,0)，共调用三层递归。

............

不难发现，按照这种方式继续下去，仅(0,0)处就被搜索了数十次，这在时间上是一个非常巨大的损耗，倘若我们的grid数组非常大，那么由于重复搜索消耗的时间是难以估量的。

因此，我们需要采取一个手段来避免这种时间的损耗：记忆化搜索。简单来说，就是另外使用一个容器来存储各点的路径最大值。这样的话，仅需执行过一次对本格的搜索，下一次重复检索本格时就可以直接从对应的容器中取值了。

最后，我们直接上代码，结合本题来理解一下记忆化搜索的便利：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int n, m;//矩阵的长宽
int dx[4] = { 1,0,-1,0 }, dy[4] = { 0,1,0,-1 };//搜索的四个方向
vector<vector<int>> mem;//用于记忆化存储

//传入搜索起始位置的横纵坐标x,y及矩阵grid
int dfs(int x, int y, vector<vector<int>>& grid)
{
	//如果已被记忆化存储，则直接返回
	if (mem[x][y] != -1) return mem[x][y];

	int ret = 1;//无论如何都要经过本格，因此初值设为1

	//向四个方向搜索，求其路径最大值
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		//越界判断 && 后一格的高度小于前一格
		if (x + dx[i] >= 0 && x + dx[i] < n && y + dy[i] >= 0 && y + dy[i] < m && grid[x + dx[i]][y + dy[i]] < grid[x][y])
		{
			ret = max(ret, dfs(x + dx[i], y + dy[i], grid) + 1);//注意路径+1
		}
	}

	//更新mem数组
	mem[x][y] = ret;

	//返回ret
	return ret;
}

int main()
{
	//读取数据及初始化容器
	int ans = 0;
	cin >> n >> m;
	vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m));
	mem = vector<vector<int>>(n, vector<int>(m, -1));//初值为-1，表示未经过存储
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			cin >> grid[i][j];
		}
	}

	//以每一个位置作为搜索起始位置，进行dfs搜索
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			//取其最大值
			ans = max(ans, dfs(i, j, grid));
		}
	}

	//输出结果
	cout << ans;
	return 0;
}