“智乃的小迷题”、“矩形分割”与背后的二分法（c语言）

最新推荐文章于 2025-01-27 08:00:00 发布

ACM摸鱼侠

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文章标签： 1024程序员节 c语言二分法

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开头的话：

10.24正式程序员节，在这一天发布我的第一篇博客好不浪漫！！！

OK！进入正题，这篇文章我们将分析牛客挑战赛53A题----乃智哥哥的小迷题，ccf第43题----矩形分割，及二者共同的算法---二分法。良好的阅读指南————

先分享二分法的基本应用；
再放题，在每次提前会将一些隐蔽的坑点先做提醒，以免浪费太多时间：
在尝试做题；
一起分析题目，找到除二分之外两道题的特点；
在总结二分法。

好，让我们先来认识一下二分法。最简单的二分法就是二分查找里面的了。与我们初中数学，及高中的二分近似估计零点思想相同。

基础二分法

如题：在一个有序数组中0、1、2、3、4、5、6、7、8中找到8是否存在，并输出下标；

#include <stdio.h>
int get_k(int x[], int y,int z)//自定义一个函数实现二分查找
{
	int mid;
	int l = 0;
    int r=z-1;//0是数组左边值，z-1为最右边下标（因为最左边下标为0，所以右边为z-1）
	while (l <= r)
	{
		 mid = (l + r)/ 2;
		if (x[mid] < y)
			l = mid + 1;
		else
			r = mid - 1;
	}
   mid = (l + r)/ 2;
	return mid;//返回中间值；
}
int main()
{
	int a[10] = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8 };
	int k = 8;
	int r = sizeof(a) / sizeof(a[1]); //数组字节数比上单个字符字节数=字符个数；
	int b = get_k(a,k,r);//输入数组，查找值，数组长度；
	printf("%d", b);
	return 0;
}

如果按从一开始注意查找的思路，我们需要查找八次才可以找到；而用二分法仅用三次。如果遇到数据为10的8次方之类的，前者的计算量会十分大，更会引起超时。

本想详细展开说二分的原理，但是辅以画图会更好理解，奈何上传不便，小可爱们可以自己画图，这里也附上大佬关于二分的详细解答：数据结构专题（一）二分法，寻找解题思路看这一篇就够了_余光的博客-优快云博客_二分法

这里说一个小技巧，解题之前我们先看一下数据范围，如果十分之大，因为运行有时间限制，那它多半就要用一些减少时间复杂度的算法了，这其中就有二分法。

到这里，我们已经简单认识了二分，那让我们来看题吧。

智乃哥哥的小迷题

提示

思路篇

这个题需要先看到其中的端倪。

我们可以先想，恰好到是什么情况？比如到1？到3？到6？

让后在想，如果在刚好点的前一步怎么办，比如2？怎么到呢？在3的基础上退一步即可。

再想，那前两步呢怎么办？刚才是到恰好点后再退，那再到之前的步数先退呢？好，思路就像提示到这里。

代码篇

题目的数据范围可是10的15次方啊，即使用二分法，那在1~x中找，x为10的15次方依旧会超时；该怎么办？我们真的有必要在x里找吗？右端点究竟是什么？x/2？x的平方根？还是什么？

解题

如嫌看文字版的慢的话可以去牛客上搜索“牛客挑战赛53”智乃哥哥的页面！或哔哩哔哩上搜索！！

好了，来上代码！

#include <stdio.h>
int main()
{
	long long x[100005];
	int T;
	scanf("%d",&T);
	int i;
	long long mid;
	for(i=0;i<T;i++)
	scanf("%lld",&x[i]);
	for(i=0;i<T;i++)
	{
		long long l=0;
		long long r=x;
		while(l< r)
		{
		 mid=l+(r-l)/2;
		if(mid*(mid+1)/2>=x[i])
		r=mid;
		else
		l=mid+1;
		}
		mid=l+(r-l)/2;
		if(mid*(mid+1)/2==x[i]+1)
		printf("%lld\n",mid+1);
		else
		printf("%lld\n",mid);
	}
	return 0;
}

跟你的一样吗？一样。啊，你说超时了，哦哦哦，放错了，嘿嘿。再来！

#include <stdio.h>
int main()
{
	long long x[100005];
	int T;
	scanf("%d",&T);
	int i;
	long long mid;
	for(i=0;i<T;i++)
	scanf("%lld",&x[i]);
	for(i=0;i<T;i++)
	{
		long long l=0;
		long long r=1e8;
		while(l< r)
		{
		 mid=l+(r-l)/2;
		if(mid*(mid+1)/2>=x[i])
		r=mid;
		else
		l=mid+1;
		}
		mid=l+(r-l)/2;
		if(mid*(mid+1)/2==x[i]+1)
		printf("%lld\n",mid+1);
		else
		printf("%lld\n",mid);
	}
	return 0;
}

有什么区别吗？我们看到2里出现了1e8，不会有小可爱和我一样不知道1e8是什么吧？就是10的8次方啦！

思路：

一直向前走不考虑回头的话，比如第4步，到了x=10；那这时如果要求x=12怎么办，肯定得先跑到再说。第5步就到15。也就是说第一步，肯定要先到>=目标点的地方。

到了之后恰好为就直接输出了，但需要退步的话，退一步当然只需要步数再加1即可；

那退多步该如何实现？退一步是在到之后退步，那我们不妨考虑一下到之前退步。

如果第一步退步的话，

原本：1+2+3+4+5=15

之后：-1+2+3+4+5=？

我们看到虽然退一步，实则退2步；那在第二步退呢？

原本：1+2+3+4+5=15

之后：1-1+3+4+5=12

实则退了3步；以此类推我们可以看到，之前退的话，会退2，3，4…

也就是大于一步的我们可以通过之前退步来实现！

如x=12，先第5步大于等于12，在通过第二步退步，来满足12；其为：1-1+3+4+5=12，实则还是5步。

我们可以得出结论，

先到再说；

再考虑退步；

不许退步就是到达步数；

退大于2步的也是到达步数；

退一步为到达步数加1；

那么问题转化为找几步之后可以到达；

当然要用到等差数列的前n项和，S=n*（n+1）/2

这也就解释了我们右端点为什么取1e8了；S近似为n^2了，x最大也才10^15，我们取10^8绰绰有余。就不用从1~x如此麻烦了，这种思想也会经常用到，还需多多留意。

有朋友或许想到了如果我右端点去x的平方根会更好，对，毕竟x并不会次次为1e15.但是因为用了sqrt后其为double型，转换麻烦，可能会强制类型转换，而且如果开根号后无法取整，变为整形实则变小了，不如1e8一劳永逸。

关于二分我们稍后总结一并再说。

矩形分割

（这个题我的思路后边有点麻烦，期待有小可爱可以分享你的更好的解法，同时也鼓励大家一起写自己的博客）

提示

思路篇

这个好理解，我们无非找到一个临界的x使x-1时左边面积<右边，在x时左边>=右边，此时的x一定是使左右差最小的时刻，而这种不断逼近找临界点的正是二分的拿手好戏。

但是不要忽视了最后一句话“使左边大矩形面积尽可能大”，而我们找到的仅仅是临界值，如果这个临界值并不穿过某个小矩形，（即为即使x右移些许，并不影响左右面积差，既可以使左大矩形面积更大）那该怎么找呢？

在提示，在到临界点之后找逼近点，莫要加1加1一个一个判断，我们使用二分不就是为了避免这种情况的嘛！莫要问我怎么知道的，我也这样过来的。所以我用了两次二分，不知道可不可以改进？期待分享！

解题

上代码！

#include <stdio.h>
int get_s(int x,int L[],int T[],int W[],int H[],int n)//自定义函数，来求左右面积差
{
	int i;
	int sl = 0;
	int sr = 0;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		if (L[i] + W[i] <= x)
			sl += W[i] * H[i];
		else if (L[i] >= x)
			sr += W[i] * H[i];
		else
		{
			sl += (x - L[i]) * H[i];
			sr += (L[i] + W[i] - x) * H[i];
		}
	}
	return sl - sr;
}
int main()
{
	int R;
	scanf("%d", &R);
	int N;
	scanf("%d", &N);
	int l[10005], t[10005], w[10005], h[10005];
	int i;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d", &l[i], &t[i], &w[i], &h[i]);
	}
	int le = 0;
	int r = R;
	int mid;
		while (le < r)
		{
			mid = (le + r) / 2;
			if (get_s(mid, l, t, w, h, N) >= 0)
				r = mid;
			else
				le = mid + 1;
		}//求临界值

		mid = (le + r) / 2;
		int b = get_s(mid, l, t, w, h, N);
		if (get_s(mid + 1, l, t, w, h, N) != b)
			printf("%d", mid);//如果x过了某个矩形则直接输出
		else
		{
			le = mid;
			r = R;
			while (le < r)
			{
				mid = (le + r) / 2;
				if (get_s(mid, l, t, w, h, N) > b)
					r = mid;
				else
					le = mid + 1;
			}//使用二分法来求逼近点
			mid = (le + r) / 2;
			if (mid == R)
				printf("%d\n", mid);//吃了1000 1 1 1 2 1的亏；
			else
				printf("%d", mid - 1);
		}
	return 0;
}

可以看到，敲代码上没有太出人意料的小细节；

来解释一下最后的输出；当时提交的我遇到了尴尬的问题

我们看到，错误的仅与正确结果相差1，这提醒我，我们求的逼近点其实是逼近点以前满足临界点的面积差，但逼近点已经不满足了，需要-1；然后就更尴尬了

这是一山不容二虎啊，70不容30 ，这两种情况一定是对立的；

我又想到当临界点的右方没有小矩形了，如输入为

1000
1
1 1 1 1

那其实就1个矩形，逼近点直接是右端点了，那就没有前者-1那一说了，所以分了两种情况输出。

总结二分

我们可以看到，题中二分与最开始的二分查找有一些细节上的不同，如l<r还是l<=r;l=mid还是mid+1；r=mid还是mid-1；

还有我师傅给的两个模板

如果你看了开始推荐的大大佬的博客，更有三种情况，实在纷繁复杂。师傅说，平时用他给的两种就可解决大部分问题了，至于其他的我也很迷呼，有大佬可以为我讲解吗？

至于师傅的两种，（l+r+1）/2与后面的l=mid+1则是为了防止死循环，拿0 和1试一下，会发现

如果不这样的话会一直在0 1中，跳不出来。

写在后面

夜已深没想到已经写了快5千字，第一次还是比较多吧。感觉并没有阐述太清，太过仓促，毕竟打字效率还是太低。敲代码还是一个挺让人自我否定的，每个题要写好久，有时一个晚上都没解出一个来。从10.1到现在，已经敲了三千多行代码，作为一个刚接触的小白，确实挺让人崩溃的。好多天，连着写不出来，甚至都让我怀疑为什么要选择这个专业。如果你也是这样，不要慌张。外教社新编大学英语unit2，Why you feel busy里面写的让我缓解了焦虑的情绪。

同时程序员多坐，记得多运动，多喝水，照顾还易秃头的我们！

节日快乐！

晚安！