离散数学—数理逻辑

数理逻辑

• 什么是数理逻辑？
  用数学方法研究形式逻辑。
• 什么是数学方法
  我们从小就学习的数学就是数学方法，即用某些符号来研究解决形式逻辑。那么也称作**“符号逻辑”**
  即：数理逻辑也可以称为符号逻辑。
• 数理逻辑的划分
  分为两部分：
  一、命题逻辑
  二、谓词逻辑

命题逻辑

• 什么是命题
  能够表达判断的陈述句。
• 命题的真值
  只有两个真值
  为真：T（True）
  为假：F（False）
• 如何判断是否为命题
  综上所述：
  一、陈述句
  二、该命题不是真就是假。（即不能又真又假）
• 命题的种类
  （一）：原子命题
  不能分解成更加简单的陈述句命题
  （二）：复合命题
  由多个原子命题通过连接词或者标点符号连接起来，构成复合的命题。

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逻辑连接词

归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词。

下面解释仅仅是我认为需要注意的点

• 否定
  对命题P的否定，一般读作：非P
• 合取
  （顾名思义合在一起取）
  两个命题进行合取的时候需要二者都为真才为真，其他均为假
• 析取
  （顾名思义将二者析开来取）
  两个命题进行析取的时候需要二者都为假才为假，其他均为真
• 异或
  （也称排斥或）
  我的理解就是：二者必须有一个出现而且不能同时出现。即不能同时进行
  举个栗子：
  P：列车在8:00开
  Q：列车在12:00开
  P和Q显然是不能同时进行的，也不能两个都不进行。
  总结：因为二者不能同时进行，那么其中一个发生了，该命题就表示为真，否则为假。
  需要注意的是：二者为真的时候也为假！
  谈一谈为什么叫异或：
  我认为因为两个命题不能同时发生或者同时不发生所以就叫做异或。
• 蕴含
  现有两个命题：P 、Q
  P->Q 可以说成：P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
  即：如果。。。就。。。
  特别注意：当前件为假的时候，后件无论是真是假都无所谓，整个命题便为真。这个叫做善意的谎言，可以说成是，前件命题只要是假的，整个命题我们都认为你说的是对的。
  例子：P为真，Q不管真假
  命题1：非P->Q
  命题1中因为非P为假，我们善意的推断命题1是真的。
  特别注意：当两边都为真的时候，整个命题肯定为真
• 等价
  （也称双条件）
  首先解释为什么称为双条件：
  因为需要边都为真或者两边都为假的时候，整个命题才为真。
  P<—>Q
  表示的是P是Q的充分必要条件。
• 异或与等价的区别
  
  很明显，在解释异或的时候就提到，两件事情不能够同时发生，只要同时发生便为假，否则为真。而等价的解释便是充分必要条件，需要二者都为真或者都为假的时候才为真，否则为假。
  二者是刚好相反的。
• 真值表
  每个原子命题遍历真值且对应在每个用不同的联结词把原子命题联结成一个复合命题，通过原子命题的真值写出每个复合命题的真值即为真值表。
  简单来说就是：将六种联结词遍历两个原子命题，两个原子命题遍历真值，然后得出不同的复合命题的真值。
  如下图：
  

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命题符号化

解释：就是将自然中的语言即陈述句，拆分成多个原子命题，然后将这些原子命题组合，最终将该陈述句用符号化的形式表达出来。
不多说，一张图来说明一切。

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命题公式

构成命题公式的有以下三种数据类型：

• 命题常项：
  即命题真值，T or F。

• （常值）命题：
  即具体的命题，他有真值。

• 命题变元：
  即一个字母符号代表一个命题，但是该命题还未确定他的真值，没有固定真值。待确定真值后就变成了常值命题。

• 合式公式
  就是用六种符号对命题进行一系列的组合
  我们平时看到的用六种联结词联结起来的都是合式公式。
  这个不作解释，因为说多了都是废话。

• 真值表
  在这里重新详细的谈谈真值表。因为真值表蕴含的东西远远不止比表面的真值。
  

• 有多少行真值
  有三个命题变元，所以有2³行
  那么可推出：有n个命题变元的话就有2ⁿ行

• 0 代表 F ；1 代表 T

• 还有一个隐含的意思
  就是该真值表可以看做一个矩阵，然后每个真值具有脚标，脚标就是隐含的意思，在写主合取范式和主析取范式的时候十分有用，利用下标能够直接写出一个蕴含式所表达的主范式。下标是用0和1来表示。
  埋一个彩蛋，到了主范式的时候会详细解释。

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命题公式的等价

• 什么是命题公式的等价？
  两个命题的原子命题通过取一样的真值，最后发现构成两个命题的真值也是一样的，就是命题的等价。
  通过真值表表示更直观，如图：
  每一列真值都一样。
  
  可以直观看出三个命题表示的真值无论P、Q取什么，都是一样的，就可以说着三个合式公式等价，在做运算的时候可以直接进行转换，这是基本的转换公式。

• 注意点
  — 最后一个命题公式是P->Q的逆否命题，所以是非Q->非P。
  — 第一二个命题是最常用的转换公式。
  

• 基础等价公式：
  

• 吸收律
  如何记忆：
  内外符号不一样，只有两个命题变元。
  吸收律为什么叫吸收律，顾名思义就是把内部吸收掉， 只留括号外面的变元。（前提是括号内外的符号不相同）

• 德摩根律
  很重要的一个规律，在信息安全与数学基础，概率论中都有用到。
  记忆：（使用概率论的口诀）
  长杠变短杠，符号要变向。
  解释：就是说括号内是一个命题，括号外有一个否定联结，把括号拆开，否定联结词放进去需要把每个变元都加一个否定，然后联结两个变元的合取变析取，析取变合取。
  简而言之就是：将概率论中的杠号变成否定联结词，操作还是和概率论是一样的。
  如图所示：
  

• 对偶式
  这对于简化我们计算步骤十分重要。
  对偶式的定义如下：
  
  对偶式的使用如下：
  解释：好比你现在要把非符号放进一个很复杂的括号内的命题里面，我们先学的知识只允许我们使用德摩根律，但如果真的反复使用德摩根律就会变得十分繁杂，做到猴年马月才行，总之就是十分的满。
  这时候我们如果使用对偶式就会变得十分简单：
  步骤1：首先写出括号内的对偶式
  步骤2：直接把非放进每一个原子命题的前面即可。
  得到的合式公式就是与原命题等价，就不用反复使用德摩根律就能得出最终化简的结果，省去了十分多的步骤。
  如下图：
  
  例子：
  

• 对于等价的说明
  等价符号不是运算符号而是一个关系符号，表示两边的命题之间的关系是等价的，就是他们原子命题取的值无论是什么，两边的命题最后的真值都是等价，可能化简后式子不一样了。
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