离散数学--数理逻辑

命题逻辑的基本概念

1.什么是命题?

存在唯一真值的陈述句。


2.逻辑运算

设p为一命题,则复合命题p为p的否定。规定p为真当且仅当p为假。

设p,q为两个命题,则复合命题p,q的合取式用p⋀q表示。规定p⋀q为真当且仅当p,q同时为真。

设p,q为两个命题,则复合命题p,q的析取式用p⋁q表示。规定p⋁q为假当且仅当p,q同时为假。

设p,q为两个命题,则复合命题p(前件),q(后件)的蕴含式用pq表示。规定p→q为假当且仅当p为真q为假。

设p,q为两个命题,则复合命题p,q的蕴含式用p↔︎q表示。规定p↔︎q为真当且仅当pq同时为真或同时为假。


连结词优先级:

从左到右() ⋀ ⋁ → ↔︎

连结词真值表:

p qpp⋀qpqpqp↔︎q
0 010011
0 110110
1 000100
1 101111


自然语言中的常用连结词:

p: 非p,p不成立

p⋀q: p并且(与)q

pq: p或q

pq:如果p,则q;只要p,就q;因为p,所以q;p仅当q;只有q,才p;除非q,才p

p↔︎q:p当且仅当q


3.公式及定义

合式公式:
将命题变项用连结词和圆括号按一定逻辑关系连结起来的符号串。

合式公式定义:
1、单个命题变项和命题常项是合式公式,并称为原子命题公式。
2、若A是合式公式,则(A)是合式公式。
3、若A,B是合式公式,则(A⋀B)(A⋁B)(A→B)(A↔︎B)是合式公式。
4、有限次地使用1~3形成的符号串是合式公式。

设A为合式公式,B为A的一部分,若B也是合式公式,则称B为A的子公式。

层次的定义:
1.若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式。
2.称A是n+1层公式是指下面情况之一:
A=B,B是n层公式;
A=B⋀C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max{i,j};
A=B⋁C,其中B,C层次及n同上;
A=B→C,其中B,C层次及n同上;
A=B↔︎C,其中B,C层次及n同上;
3.若公式的层次为k,则称A是k层公式。

设p1~pn是出现在公式A中的全部命题变项,给p1~pn各指定一个真值,成为对A的一个赋值或解释。若指定一组值使A为1,则称这组值为A的成真赋值;若使A为0,则称这组值为A的成假赋值

将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表,称作A的真指表。

设A为任意命题公式。
1、若A在它的各种赋值下取值为真,则称A是重言式或永真式;
2、若A在它的各种赋值下取值为假,则称A是矛盾式或永假式;
3、若A不是矛盾式,则称A是可满足式。

哑元:对取值无影响的变项。

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