离散数学－－数理逻辑

命题逻辑的基本概念

1.什么是命题？

存在唯一真值的陈述句。

2.逻辑运算

设p为一命题，则复合命题￢p为p的否定。规定￢p为真当且仅当p为假。

设p,q为两个命题，则复合命题p，q的合取式用p⋀q表示。规定p⋀q为真当且仅当p，q同时为真。

设p,q为两个命题，则复合命题p，q的析取式用p⋁q表示。规定p⋁q为假当且仅当p，q同时为假。

设p,q为两个命题，则复合命题p（前件），q（后件）的蕴含式用p→q表示。规定p→q为假当且仅当p为真q为假。

设p,q为两个命题，则复合命题p，q的蕴含式用p↔︎q表示。规定p↔︎q为真当且仅当pq同时为真或同时为假。

连结词优先级：

从左到右()￢ ⋀ ⋁ → ↔︎

连结词真值表：

p q	￢p	p⋀q	p⋁q	p→q	p↔︎q
0 0	1	0	0	1	1
0 1	1	0	1	1	0
1 0	0	0	1	0	0
1 1	0	1	1	1	1

自然语言中的常用连结词：

￢p: 非p，p不成立

p⋀q: p并且（与）q

p⋁q: p或q

p→q:如果p，则q；只要p，就q；因为p，所以q；p仅当q；只有q，才p；除非q，才p

p↔︎q:p当且仅当q

3.公式及定义

合式公式：

将命题变项用连结词和圆括号按一定逻辑关系连结起来的符号串。

合式公式定义：

1、单个命题变项和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式。

2、若A是合式公式，则（￢A）是合式公式。

3、若A，B是合式公式，则（A⋀B）（A⋁B）（A→B）（A↔︎B）是合式公式。

4、有限次地使用1～3形成的符号串是合式公式。

设A为合式公式，B为A的一部分，若B也是合式公式，则称B为A的子公式。

层次的定义：

1.若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。

2.称A是n＋1层公式是指下面情况之一：

A=￢B,B是n层公式；

A＝B⋀C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝max｛i，j｝；

A＝B⋁C，其中B，C层次及n同上；

A＝B→C，其中B，C层次及n同上；

A＝B↔︎C，其中B，C层次及n同上；

3.若公式的层次为k，则称A是k层公式。

设p1～pn是出现在公式A中的全部命题变项，给p1～pn各指定一个真值，成为对A的一个赋值或解释。若指定一组值使A为1，则称这组值为A的成真赋值；若使A为0，则称这组值为A的成假赋值

将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真指表。

设A为任意命题公式。

1、若A在它的各种赋值下取值为真，则称A是重言式或永真式；

2、若A在它的各种赋值下取值为假，则称A是矛盾式或永假式；

3、若A不是矛盾式，则称A是可满足式。

哑元：对取值无影响的变项。