求解最长回文字符串

Manacher算法核心

Manacher算法的核心部分在于它巧妙的令人惊叹的加速，这个加速一下把时间复杂度提升到了线性，让我们从暴力的算法中解脱出来，我们先引入概念，再说流程，最后提供实现代码。

概念：

ManacherString：经过Manacher预处理的字符串，以下的概念都是基于ManasherString产生的。

回文半径和回文直径：因为处理后回文字符串的长度一定是奇数，所以回文半径是包括回文中心在内的回文子串的一半的长度，回文直径则是回文半径的2倍减1。比如对于字符串 "aba"，在字符 'b' 处的回文半径就是2，回文直径就是3。

最右回文边界R：在遍历字符串时，每个字符遍历出的最长回文子串都会有个右边界，而R则是所有已知右边界中最靠右的位置，也就是说R的值是只增不减的。

回文中心C：取得当前R的第一次更新时的回文中心。由此可见R和C时伴生的。

半径数组：这个数组记录了原字符串中每一个字符对应的最长回文半径。

流程：

步骤1：预处理原字符串

先对原字符串进行预处理，预处理后得到一个新的字符串，这里我们称为S，为了更直观明了的让大家理解Manacher的流程操作，我们在下文的S中不显示特殊字符(这样并不影响结果)。

步骤2：R和C的初始值为-1，创建半径数组pArr

这里有点与概念相差的小偏差，就是R实际是最右边界位置的右一位。

步骤3：开始从下标 i = 0去遍历字符串S

分支1：i > R ，也就是i在R外，此时没有什么花里胡哨的方法，直接暴力匹配，此时记得看看C和R要不要更新。

分支2：i <= R，也就是i在R内，此时分三种情况，在讨论这三个情况前，我们先构建一个模型

L是当前R关于C的对称点，i'是i关于C的对称点，可知 i' = 2*C - i，并且我们会发现，i'的回文区域是我们已经求过的，从这里我们就可以开始判断是不是可以进行加速处理了

情况1：i'的回文区域在L-R的内部，此时i的回文直径与 i' 相同，我们可以直接得到i的回文半径，下面给出证明

红线部分是 i' 的回文区域，因为整个L-R就是一个回文串，回文中心是C，所以i形成的回文区域和i'形成的回文区域是关于C对称的。

情况2：i'的回文区域左边界超过了L，此时i的回文半径则是i到R,下面给出证明

首先我们设L点关于i'对称的点为L'，R点关于i点对称的点为R'，L的前一个字符为x，L’的后一个字符为y，k和z同理，此时我们知道L - L'是i'回文区域内的一段回文串，故可知R’ - R也是回文串，因为L - R是一个大回文串。所以我们得到了一系列关系，x = y，y = k，x != z，所以 k != z。这样就可以验证出i点的回文半径是i - R。

情况3：i' 的回文区域左边界恰好和L重合，此时i的回文半径最少是i到R，回文区域从R继续向外部匹配，下面给出证明

因为 i' 的回文左边界和L重合，所以已知的i的回文半径就和i'的一样了，我们设i的回文区域右边界的下一个字符是y，i的回文区域左边界的上一个字符是x，现在我们只需要从x和y的位置开始暴力匹配，看是否能把i的回文区域扩大即可。

总结一下，Manacher算法的具体流程就是先匹配 -> 通过判断i与R的关系进行不同的分支操作 -> 继续遍历直到遍历完整个字符串

时间复杂度：

我们可以计算出时间复杂度为何是线性的，分支一的情况下时间时间复杂度是O(n)，分支二的前两种情况都是O(1)，分支二的第三种情况，我们可能会出现O(1)——无法从R继续向后匹配，也可能出现O(n)——可以从R继续匹配，即使可以继续匹配，R的值也会增大，这样会影响到后续的遍历匹配复杂度，所以综合起来整个算法的时间复杂度就是线性的，也就是O(n)。

 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
//算法主体
int maxLcsplength(string str) {
	
	if (str.length() == 0) {
		return 0;
	}
	
	int len = (int)(str.length() * 2 + 1);
	
	char *chaArr = new char[len];
	int* pArr = new int[len];
	int index = 0;
	for (int i = 0; i < len;i++) {
		chaArr[i] = (i & 1) == 0 ? '#' : str[index++];
	}
	
	int R = -1;
	int C = -1;
	int maxn = 0;
	
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		
		pArr[i] = R > i ? min(R - i, pArr[2 * C - i]) : 1;
		
		while (i + pArr[i]<len && i - pArr[i]>-1) {
			if (chaArr[i + pArr[i]] == chaArr[i - pArr[i]]) {
				pArr[i]++;
			}
			else {
				break;
			}
		}
		
		if (i + pArr[i] > R) {
			R = i + pArr[i];
			C = i;
		}
		
		maxn = max(maxn, pArr[i]);
	}
	//
	delete[] chaArr;
	delete[] pArr;
	//重点
	return maxn - 1;
}

 

 

Reference:https://www.cnblogs.com/cloudplankroader/p/10988844.html