几何数据结构之四叉树与八叉树

四叉树的定义

四叉树（Quadtree）：是一颗包含树根（Root）的树，每个节点包含四个子节点。我们常见用于描述四叉树的形式如下图：

它一个节点可以存储四个子节点的数据。当然，我们还可以采用其他形式来描述四叉树。

如下图所示：

树中每个节点有四个子节点，我们可以把每个节点看作一个正方形，最外围的正方形，包含四个第二大的正方形，同样的，第二大的也包含四个第三大正方形。
当然，我们可以以象限来描述它，一个正方形，被十字叉分为了四个象限，一个象限就代表了一个节点，我们可以不断的递归的去取正方形的边长中点，直到正方形中只存在一个点的。

四叉树是一种空间划分数据结构，通常用于存储二维平面中的点。四叉树将空间递归地划分为四个象限（子区域），并将点插入到对应的子区域中。

插入过程：
每个节点表示一个矩形区域，如果该区域可以容纳更多的点，它就会插入点；如果已经达到阈值（例如最多只能容纳 4 个点），则会进行分割，将区域划分为 4 个子区域。
子区域的插入：每当点超出当前节点的边界时，应该递归到下一个合适的子区域中。如果某个点仍然位于当前节点的范围内，则将其插入到当前节点。
子节点的划分：当节点满了（即点数量超过设定阈值），它将自己分割成 4 个子节点，每个子节点管理一个象限的区域。

四叉树深度的计算公式推导

假设：

1. 初始区域的边长是 ( S )。
2. 每个节点容纳的最小距离是 ( C )，即空间中任意两个点之间的最小距离为 ( C )，所以每个子区域将尽可能容纳这种最小距离的点。

计算过程：

1. 划分空间：

四叉树的每一层将空间分为四个象限（子区域）。如果在深度为 ( d ) 的层次，空间被划分为 ( 4^d ) 个子区域，那么每个子区域的大小将是：

$$\text{子区域边长}=\frac{S}{2^d}$$

2. 节点容纳的最小距离：

每个子区域容纳的最小点间距是 ( C )，所以在每个子区域中，至少应该有足够的空间容纳这种最小距离的点。为了确保每个子区域中有两个点之间的最小距离不小于 ( C )，我们有以下条件：

$$\frac{S}{2^d}\ge C$$

这意味着每个子区域的边长必须大于等于最小点距离 ( C )，否则就需要进一步划分。

3. 解出深度：

根据上面的不等式，求得最小深度 ( d )：

$$\frac{S}{2^d}\ge C\Rightarrow 2^d\le \frac{}{C}$$