对保险的需求

睿智的菜汪

已于 2024-11-10 02:08:56 修改

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于 2024-11-10 02:07:03 首次发布

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1.期望效用函数

设存在多种状态，为简便起见，设有两种状态，发生的概率为 $p_1,p_2$ ，两种状态下发生的消费为 $c_1,c_2$ ，设效用函数为 $u(x)$

期望效用函数（冯诺依曼-摩根斯坦效用函数）为

$U(p_1,p_2,c_1,c_2)=p_1u(c_1)+p_2u(c_2)$

2.保险费率的确定

设为某资产投保每1元钱都需要t元保费，灾害发生率为p， $0.99\frac{-0.02}{100-0.02x}+0.01\frac{0.98}{20+0.98x}=0$

首先t要大于p，如果t不大于p，在多个相同标的投保下，根据大数定律，期望的赔款会多于收到的保费，该交易不会形成。

其次，t不会高于1，如果t大于1，那么投保金额比标的本身更值钱了，将不会有人来投保。

3.一个例子

假设一个房子价值100万元，有1%的概率遭遇火灾，损失80万，房屋所有者的效用函数为 $U(x)=lnx$ ，每单位保险的价格为t元。

（1）假设t等于0.02时，应该购买多少单位保险。

（2）假设t等于0.01时，应该购买多少单位保险。

（3）在第（2）的情景下，假设效用函数修改为 $U(x)=1-e^{-x}$ ，房屋价格升值为200万，火灾损失仍为80万的情况下，是否会考虑购买更多保险？

解答：

（1）根据期望效用函数：

$U(x)=0.99ln(100-0.02x)+0.01ln(100-80-0.02x+x)$

为了找到最佳投保额x，对效用函数求导得到：

$0.99\frac{-0.02}{100-0.02x}+0.01\frac{0.98}{20+0.98x}=0$

求得x为29.82，那么购买29.82万是最优的。

（2）根据期望效用函数

$U(x)=0.99ln(100-0.01x)+0.01ln(100-80-0.01x+x)$

同样的可以求得x刚好等于80

（3）不会，从效用函数可以看到该房屋所有者仍然是一个风险厌恶者，解得的x仍然会是80。

证明： $U(x)=0.99(1-e^{-200+0.01x})+0.01(1-e^{-(200-80-0.01x+x)})$

对该效用函数求导：

$-0.99*0.01*e^{-200+0.01x}+0.01*0.99*e^{-120-0.99x}=0$

x还是80

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