数值分析——第一章

一、背景

教材：数值分析 第5版 李庆扬 王能超 易大义

第一章——学习目标与要求

• 了解数值计算方法研究的对象及特点；
• 了解误差的来源及分类；
• 掌握计算绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限、有效数字的方法；
• 了解病态问题和条件数；
• 了解数值算法的稳定性；
• 掌握避免误差危害的若干原则；
• 掌握数值计算中算法设计的常用技术。

二、正文内容

1.1.1 数学科学与数值分析

数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现，用计算机求解科学技术问题通常经历以下步骤：

1. 根据实际问题建立数学模型
2. 由数学模型给出数值计算方法
3. 根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果

1.1.2 计算数学与科学计算

略

1.1.3 计算方法与计算机

略

1.1.4 数值问题与算法

能用计算机就算的“数值问题”是指输入数据（即问题中的自变量和原始数据）与输出数据（结果）之间函数关系的一个确定而无歧义的描述，输入输出数据可用有限维向量表示。

计算的基本单位是算法元，它由算子、输入元和输出元组成。

算子：简单操作，如算术运算（加减乘除）、逻辑运算、宏操作、向量运算、数组传输、基本初等函数求值......

输入元、输出元：若干变量/向量。

进程：算法元的有限序列，由一个或多个算法元组成。

一个数值问题的算法：按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过它们将输入元变换成一个输出元。

面向计算机的算法：串行算法（只有一个进程的算法）、并行算法（两个以上进程的算法）。

计算复杂性：计算时间复杂性、存储空间复杂性。

数值分析是研究数值问题的算法：面向计算机、有可靠的理论分析、有好的计算复杂性、有数值实验。

1.2.1 误差来源与分类

模型误差：数学模型与实际问题之间出现的误差。通常假定数学模型是合理的，误差忽略不计，不予讨论。

观测误差：由观测（物理量如温度、长度、电压等）产生的误差。不予讨论。

数值分析研究用数值方法求解数学模型产生的误差。

截断误差/方法误差：近似解与精确解之间的误差。

舍入误差：由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程可能产生新的误差；由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。

误差估计问题：研究计算结果的误差是否满足精度要求

1.2.2 误差与有效数字

定义1        设x为准确值，x*为x的一个近似值，称e*＝x*-x为近似值的绝对误差，简称误差。

近似值x*的误差e*：如定义1。

近似值x*的误差限*：误差的绝对值不超过某正数*，总是正数，不唯一但是越小越好，不能完全表示近似值的好坏。  

近似值x*的相对误差