高斯消元法解线性与异或方程组详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_54209457/article/details/121274423

$对于下面这个方程组$
$\begin {cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+···+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+···+a_{2n}x_n=b_2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,··· \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+···+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$

增广矩阵是:
$\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}&b_2\\ \,&\,&···&\,&\,\\ a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}&b_n \end{matrix} \right)$

解方程步骤：
①：枚举每一列
②：找到每一列的最大值
③：把具有最大值的一行换到最上面（并不是真正意义上的最上面，而是已确定的行的下面一行）
④：把这一列下面所有行的值变成0
⑤：化成阶梯型矩阵

判断方法：
①：如果经过处理后，剩下的方程组数小于 $n$ ，那么有无穷解或者无解
②：如果剩下的方程组数等于 $n$ ，那么有唯一解

模板题：AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

注意：
判断浮点数是否为0的时候，不能直接判断，要用精度
最后一列就代表未知数的解

核心代码：（其实此题最最核心的是 $return\,\,0;$ 上面的三行代码）

const double eps = 1e-6;
int gauss()
{
    int c, r;
    for(c = 0, r = 0; c < n; ++c)//
    {
        int t = r;
        for(int i = r; i < n; ++i)//找到每一列的最大值
            if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
        if(fabs(a[t][c]) < eps)//如果这一列全是0，说明不用处理，那么直接跳过，因为我们是每处理一次就定下来了一行，所以++r才会在下面的代码中执行
            continue;
        for(int i = c; i < n + 1; ++i)//把最大值那一行与当前的r行交换
            swap(a[t][i], a[r][i]);
        for(int i = n; i >= c; --i)//把当前行变成以1开头(0除外)的
            a[r][i] /= a[r][c];
        for(int i = r + 1; i < n; ++i)
            if(fabs(a[i][c]) > eps)
                for(int j = n; j >= c; --j)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        ++r;
    }

    if(r < n)
    {
        for(int i = r; i < n; ++i)
            if(fabs(a[i][n]) > eps)//出现了0=2这种情况说明无解
                return 2;
        return 1;
    }

    for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
        for(int j = i + 1; j < n; ++j)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
    return 0;//如果r==n说明有唯一解

}

相关题目：
AcWing 884. 高斯消元解异或线性方程组
这道题目其实就是线性方程组的变形，只是把加法变成了异或运算而已
最后一列就是未知数的解

核心代码：

int gauss()
{
    int r, c;
    for(r = c = 0; c < n; ++c)
    {
        int t = r;
        for(int i = r; i < n; ++i)
            if(arr[i][c])//如果这列是1
            {
                t = i;
                break;
            }

        if(!arr[t][c])//如果这一列没有1，全是0
            continue;

        for(int i = c; i < n + 1; ++i)//把最上面的一列与第一个出现1的一列交换
            swap(arr[r][i], arr[t][i]);

        for(int i = r + 1; i < n; ++i)
            if(arr[i][c])
                for(int j = c; j < n + 1; ++j)
                    arr[i][j] ^= arr[r][j];

        ++r;
    }

    if(r < n)
    {
        for(int i = r; i < n; ++i)
            if(arr[i][n])//此时无解
                return 2;
        return 1;//此时有无穷解
    }

    for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
        for(int j = i + 1; j < n; ++j)
            arr[i][n] ^= arr[i][j] & arr[j][n];//此时最后一列就代表每个未知数的解

    return 0;
}