扩展欧几里得算法

裴蜀定理：有任意正整数$a，b$，那么一定存在非零整数 $x，y$ 使得 $ax+by=(a,b)$
扩展欧几里得解决的问题：对于一组数 $a_i，b_i$，求出一组 $x_i，y_i$ 使得 $a_i\ast x_i+b_i\ast y_i=gcd(a_i，b_i)$

模板题链接：AcWing 877. 扩展欧几里得算法

注意：
对于$exgcd(b,a\%b,y,x)$有，交换了下系数，便于简化代码
①：$(a,0)=a$，所以有$a\ast x+0\ast y=a$，所以$x=1，y=0$
②：$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$ax+by=b{y}_1+(a\%b)x_1$
$ax+by=b{y}_1+(a-[\frac{a}{b}]\ast b)x_1$
所以$x=x_1,y=y_1-[\frac{a}{b}]x_1$，注意这是递归返回的时候，先求出下一层的$x_1,y_1$，再带回这一层
③：要用引用传递

如果对于$exgcd(b,a\%b,x,y)$则有
$x=y_1,y=x_1-[\frac{a}{b}]\ast y_1$

代码如下：
其实 $exgcd$ 设置成 $void$ 也行，这里只是顺便求出了 $gcd$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,a,b;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    } 
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int x,y;
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

线性同余方程

对于一组数据 $a_i,b_i,m_i$，对于每组数求出一个 $x_i$，使其满足 $a_i\times x_i\equiv b_i(mod{m}_i)$，如果无解则输出 $impossible$

$a\times x\equiv b(modm)$等价于
$a\ast x\%m=b$
$a\ast x=m\ast y+b$
$a\ast x+my‘=b$，这里就化成了扩展欧几里算法
有解当且仅当 $(a,m)|b$

模板题链接：AcWing 878. 线性同余方程
注意最后要扩大相应倍数，并且模上$m$
AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    while(n--)
    {
        ll a,b,m,d,x,y;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
        d=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%d)
            printf("impossible\n");
        else
            printf("%lld\n",x*b/d%m);
    }
    
    return 0;
}