加权最小二乘法推导

最新推荐文章于 2024-11-18 13:33:41 发布
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加权最小二乘回归方法的程序实现范例
树木_xzw的博客
05-14 2518
加权最小二乘回归方法-程序范例 在一般的线性回归求相关系数时候，大都选择最小二乘回归分析方法来拟合。它的原理是：假设拟合方程为：，将实测值Yi与预测值（Yj=a0+a1X）的离差（Yi-Yj）的平方和最小作为“优化判据”，那么对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零： a0 = （∑Yi) / n - a1（∑Xi) / n ， a1 = [n∑(Xi Yi) –(∑Xi∑Yi)] /
5.4 加权最小二乘法
jhshanvip的博客
05-02 3385
5.4 加权最小二乘法 最小二乘法是使 ∑i(bi−ariTx)2\sum_i (b_i-\mathbf{a}^T_{ri}\mathbf{x})^2∑i​(bi​−ariT​x)2 最小，这表明每次测量的重要性一样，但实际中有时存在某些测量更重要，某些更不重要。以第一个例子为例说明，假设测量直径，用了两个精度不同的设备各测一次，分别为 dh,dld_h,d_ldh​,dl​ ，设备的测量精度即方...
两阶段最小二乘法_加权最小二乘法(文末送书)
weixin_39921087的博客
12-15 1460
总第222篇/张俊红今天这篇来讲讲加权最小二乘法(WLS)，加权最小二乘是在普通的最小二乘回归(OLS)的基础上进行改造的。主要是用来解决异方差问题的，关于异方差可以看看：讲讲什么是异方差OLS的常规形式如下：我们在前面讲过OLS有几个基本假定，其中一个就是ui是随机干扰项，即随机波动的，不受其他因素的影响，即在x取不同值时var(ui)都是一个固定的常数。但有的时候ui不是随机干扰项，...
加权最小二乘法
weixin_30486037的博客
04-26 1330
本文加权最小二乘法为研究生阶段首次做的算法推导和实现的尝试，很简单，但是当看到自己做的结果的时候还是很开心滴 转载于:https://www.cnblogs.com/newbyang/p/5436141.html...
最小二乘法，加权最小二乘法，迭代重加权最小二乘法 (含代码)【最小二乘线性求解】
热门推荐
weixin_43763292的博客
11-16 3万+
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法是曲线拟合的常用方法，使用该方法对匹配函数的选取非常重要。。所谓匹配函数就是函数经过的路线在图中的点达到一个最佳匹配。不然就会出现过拟合和欠拟合的现象。1：工具：主要Qt +Eigen库+QCustomPlot类Eigen库是一个用于矩阵计算，代数计算库QCustomPlot类是一个用于绘图和数据可视化。
加权最小二惩的公式推导
Python领域优质萌新学习笔记
11-18 1142
从代数上，分子是数据点的加权内积，而分母确保了对所有数据点加权协方差的校正作用。为计算方便，逆矩阵的分母可以直接写成行列式的形式。，以及相关的加权回归模型的数学结构。的来源，并解释公式中的分子和分母是如何得到的。通过加权最小二乘公式，解的分母来源于。回到加权最小二乘公式。
基于边界限制加权最小二乘法滤波的雾天图像增强算法
02-03
根据辐射立方体法则推导出边界限制条件, 得到了初始的透射率, 运用加权最小二乘法滤波方法和容差机制, 对透射率进行了平滑处理; 利用暗通道理论的模型, 求取了增强后的图像。研究结果表明, 在去雾效果和图像的可视...
基于加权最小二乘法的双曲线定位改进Dvhop算法：提高定位精度与对比原始算法
最新发布
05-29
为解决这一问题，文中提出了一种基于加权双曲线定位的方法，利用加权最小二乘法来修正异方差性，从而提高了定位精度。具体来说，通过引入与跳数相关的权值矩阵，使得远距离测量的误差得到有效抑制。此外，文章还讨论...
最小二乘法的矩阵形式推导
fengying__的博客
01-23 4691
最小二乘法是一种基本的线性回归方法，现总结其矩阵形式的推导。 优化目标 minxf(x)=∣∣Ax−B∣∣22\mathop{min}\limits_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})={||\mathbf{Ax-B||}_2^2}xmin​f(x)=∣∣Ax−B∣∣22​ 第一步： l2范式展开 f(x)=(Ax−B)T(Ax−B)=xTATAx−BTAx−xTATB+BTB=xTATAx−2BTAx+BTB \begin{aligned} f(\mathbf{x}) &= \ma
使用最小二乘法计算多元线性回归的公式推导
weixin_44455143的博客
08-28 1万+
机器学习-线性回归线性回归背景最小二乘法计算线性回归数据的准备把数据转换成数学损失函数根据损失函数计算最终结果总结 最近老师让我学习线性回归编程模型，此篇介绍使用最小二乘法实现单机器线性回归。 线性回归背景 在生活中，我们常常会发现，一个现象可以由很多因素共同作用才会发生，我们把现象称为t,把影响它的因素1,因素2,因素三…因素m称为x1,x2…xm，把每个因素的影响权重称为w1,w2…wm。那么...
加权整体最小二乘求解线性模型参数及精度估计 (2012年)
05-09
针对线性模型中最小二乘和整体最小二乘方法存在的问题，引进了加权整体最小二乘的方法，并给出了精度估算公式。通过线性模型的实例计算验证，加权整体最小二乘可以得到更加合理的拟合模型，获得更高精度的参数解，具有更小的中误差。
GNSS说第（二）讲----加权最小二乘法（WLS）相关概念及基本步骤解析
十八与她的博客
04-15 2万+
因为在第一讲中GNSS说第(一)讲—基于RTKLIB的GPS / BDS联合单点定位性能评估，我们提到了加权最小二乘法，因此本讲中我们主要阐述一下加权最小二乘法得基本原理和相关概念： 概念： 1、正定矩阵（positive definite matrix）： 设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有Z^TMZ> 0，其中Z^T 表示z的转置，就称M为正定矩阵 加权正定矩阵: 若M为权阵，则称M为加权正定矩阵 2、协方差矩阵（covariance matrix）： 在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个
Machine Learning：最小二乘法数学原理及简单推导
Zhang Phil
12-18 9335
Machine Learning：最小二乘法数学原理及简单推导假设给定一系列散列值（数据集）记为D={（x1,y1），（x2，y2），（x3，y3），，，（xn，yn）}，找到一个函数y=ax+b（也可记得f(x)=ax+b）使得f(x)函数尽可能拟合D。求解函数f(x)的方法很多种。最小二乘法寻找拟合函数f(x)的原理和思想关键：平方差之和最小，即使得Q最小。即求解最小值。因为(x1,y1)，（
最小二乘估计矩阵形式的推导
qq_44638724的博客
03-23 6256
最小二乘估计矩阵形式的推导 最近写文章有用到一些算法，自己推一下，顺便mark下来。 这么久没上csdn居然都能写Tex了(666) 考虑一般线性回归模型(OLR) 考虑只含有一个指标的一般线性回归模型(ordinary linear regression model)有如下形式： y=β0+β1x1+ϵ y=\beta_0+\beta_1x_1+\epsilon y=β0​+β1​x1​+ϵ 看...
最小二乘估计详细推导
山南水北有一方的博客
10-22 2166
【返璞归真】-加权最小二乘
Python领域优质萌新学习笔记
11-18 2136
个点对所有模型都有正隶属度），可以使用以下公式计算第。的列不线性独立，可以通过正则化（如岭回归）改进结果。的列是线性无关的，并且模糊隶属度。是待求解的参数向量。
最小二乘法推导以及理解
Fight_Feature的博客
09-07 7043
我在网上发现了两种推导方式，于是自己跟着推导了一遍。。。。。 （一）（高数式推导）： [参考博客](https://blog.youkuaiyun.com/MarsJohn/article/details/54911788) 这里先引入两个提前推得出的结论： ![两个结论](https://img-blog.csdnimg.cn/20190907195440348.jpg?x-oss-proce...
加权最小二乘法介绍
05-18
### 加权最小二乘法的概念 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种改进的最小二乘法，用于处理观测数据存在异方差的情况。在标准最小二乘法中，假设误差项具有相同的方差（同方差性），但在实际应用中，这一假设往往无法满足。为了克服这一局限性，WLS通过引入权重矩阵来调整不同观测点的重要性，从而提高模型拟合精度。 具体而言，在加权最小二乘法中，目标是最小化带权重的目标函数： \[ S(x) = (b' - A'x)^T W (b' - A'x), \] 其中 \(W\) 是一个对角矩阵，其对角元素代表各观测点对应的权重[^3]。 --- ### 加权最小二乘法的原理 #### 1. 权重的选择 权重通常基于观测值的可靠性或噪声水平选取。如果某个观测值受到较大的噪声影响，则赋予较小的权重；反之亦然。这种机制允许模型更加关注可靠的数据点，减少异常值的影响。 #### 2. 迭代优化过程 对于某些复杂场景，初始权重可能未知或者难以精确指定。此时可以通过迭代方式逐步更新权重和参数估计值。例如，在直线拟合问题中，可以先忽略权重完成初步拟合，再依据残差大小动态调整权重并重复计算直到收敛[^1]。 #### 3. 数学推导 设原始线性回归模型为 \(y_i = a_0 + a_1 x_i + e_i\)，其中 \(e_i\) 表示误差项。若已知每条记录对应的标准偏差 \(\sigma_i\)，那么定义第 i 个样本点上的相对重要程度 w_i=\frac{1}{σ²\_i} 。于是新的损失函数变为如下形式: \[ L(a)=∑w\_i(y\_i-(a\_0+a\_1*x\_i))^2. \] 通过对该表达式求偏导数等于零可得最优解公式。 --- ### 加权最小二乘法实现方法 以下是 Python 中使用 NumPy 库实现简单的一维加权最小二乘的例子： ```python import numpy as np def weighted_least_squares(X, Y, weights): """ Perform Weighted Least Squares regression. Parameters: X : array-like of shape (n_samples,) Independent variable values. Y : array-like of shape (n_samples,) Dependent variable values. weights : array-like of shape (n_samples,) Weights associated with each sample point. Returns: coefficients : ndarray of shape (2,) Coefficients [intercept, slope]. """ # Convert inputs to column vectors and ensure proper shapes X = np.array(X).reshape(-1, 1) ones_column = np.ones((X.shape[0], 1)) design_matrix = np.hstack([ones_column, X]) sqrt_weights = np.sqrt(weights).reshape(-1, 1) W = np.diag(sqrt_weights.flatten()) Wy = W @ Y.reshape(-1, 1) WX = W @ design_matrix beta_hat = np.linalg.inv(WX.T @ WX) @ WX.T @ Wy return beta_hat.flatten() # Example usage if __name__ == "__main__": X = np.array([1, 2, 3, 4]) # Predictor variables Y = np.array([2.1, 4.9, 7.8, 9.5]) # Response variables weights = np.array([1, 2, 3, 4]) # Associated weights result = weighted_least_squares(X, Y, weights) print(f"Coefficients: intercept={result[0]}, slope={result[1]}") ``` 此代码片段展示了如何构建设计矩阵以及利用平方根变换后的权重构造最终解决方案的过程。 ---
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