进化约束多目标优化：可扩展的约束基准问题和算法(IMTCMO)

1.前置知识：

 1.1基础概念

详细见这篇文章：CMOPs 约束多目标问题基础知识-优快云博客

1.2约束支配准则CDP

定义: y ≺CDP  x，满足下列任意一种情况，我们就说解y支配解x。

1. y 是可行解，x 为不可行解
2. y 和 x 都为不可行解，但是 y 的 CV 值小于 x 的 CV 值
3. y 和 x 都为可行解且 y ≺x(解y在所有目标值上都小于等于解x且解y至少有一个目标值上小于解x)

1.3角度支配准则ACDP

角度值的计算公式：

1. 解之间夹角越大，其目标空间中的分布越分散，有助于多样性。
2. 在相同可行性或约束违反程度下，夹角大的解优于夹角小的解。
3. 夹角信息用于衡量解在目标空间中的分布情况

1.4DE/rand/1 和 DE/current-to-best/1

•  差分进化公式DE/rand/1：这是差分进化中一种基础的变异策略，完全基于随机选择父代个体生成变异向量。

  

• 差分进化公式DE/current-to-best/1：这是改进的局部搜索策略，通过利用当前解 xi 和一个优先解 xbest（从最优个体中选择）生成变异向量。

1. vi​：第 i 个个体的变异向量。
2. xi：当前个体。
3. xb：从种群中按概率从最优 p% 个体中选取的个体，通常称为“优先解”。
4. xr1​, xr2​：从种群中随机选择的两个不同个体，且 xr1≠xr2≠xi。
5. F：缩放因子。

1.5 OCMOPs和DCMOPs

1. OCMOPs:带有目标空间约束的基准问题被称为静态约束多目标优化问题，约束条件和目标函数在整个优化过程中不变。
2. DCMOPs:带有决策空间约束的基准问题被称为动态约束多目标优化问题，目标函数或约束可能在不同时间段具有不同的定义或形式，导致 Pareto 前沿会动态变化。

 目标空间中三个OCMOPs的约束程度与目标之间的关系

2.SDC基准问题介绍

本文主要介绍该篇文献提出的算法，文献中提出的基准问题仅做简要介绍，详细了解请参考文章末尾所给的文献链接。

2.1SDC被提出的动机

1.  现存的基准问题存在的一些问题：1.围绕CPF来构建可行域，换句话，很多约束函数和目标值直接相关而不是和决策变量。用目标值离可行域的距离来表示约束违背度CV。2.约束地形不是多模态的。3.决策变量的数量是固定的。基于以上问题使得现有的很多基准问题很难完全代表现实中问题的特点。
2. 现实中问题的特点：特点1：约束函数常常是直接和决策变量相关而不是目标值。特点2：仅仅一些但不是全部决策变量和约束相关。特点3：等式和不等式约束都存在。特点4：决策变量的数量也直接和约束相关并且总决策变量数量也是可扩展的。
3. SDC基准问题的特点：SDC中的约束变量数量是可扩展的，因此约束函数具有可调整的难度。此外，为了帮助用户轻松验证算法在变体函数上的泛化性能，提供了几个不同的参数接口来构建变体函数。总共提出了15个基准测试问题从SDC1-SDC15。

2.2SDC与目标值的关系

• SDC1-SDC15的构建

•  SDC1,SDC5,SDC7约束违反程度与目标值的关系

1.  SDC1：有两个区域分别分布在第一象限和第三象限。值得注意的是， CPF位于第一象限。因此，如果算法更多地关注目标，种群将落入分布在第三象限的不可行区域。在第一象限，随着目标值的降低，约束违反